Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

4.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

щеН таблице (при этом ось л следует располагать в напра влении более короткой стороны, т. е. в нашем случае в направлении стороны 2а):

A	=	I		1.5		2			3,0
а
Cл, =		0,651		0,843		0,914		0,963	0,990
CJ, -гг: 0,651				0,165		0,405		0,342	0,330
§ 5.	Пластинка с теплопроизводящим слоем
Рассмотрим			тонкую		пластинку		толщиной		Я =	+ Ag
(рис. 19),	в	которой на			расстоянии			Aj от одной граничной
поверхности		и	на	расстоянии		Ag	от	другой — расположен

бесконечно тонкий теплопроизводящий слой. Поместим в пло

скости		этого	слоя				начало
прямоугольной				системы ко
ординат.		Ось		Z		направим
перпендикулярно					к	плоско			♦	t	у
сти	пластинки,			в		которой		-
расположены			оси			х	и у .		7	^	У
так	что	уравнения гранич							1 '	[
ных	плоскостей				пластинки					г	г,

будут иметь			вид			Z = A^ и

Z = — Ао. Боковыми грани										Рис. 19.
цами	будут			поверхности							сторон Z = H^ и
X =	Z*! а и у =			± Ь .			Пусть	температура
Z = — 112 будет						и Tg соответственно, а температура тепло-
производящего				слоя Z = O будет					T^. При		этом имеет место

стационарное температурное состояние. Кроме того, предполо жим, что Tl, То и TQ не зависят от х и Ji'. К этой задаче при некоторой идеализации сводится вопрос о напряжениях,

возникающих, в подогретых бетонных перекрытиях.
Дифференциальное уравнение		(1.6) в этом случае	упро
щается (так	как температурное	поле не зависит от х	и у)
и сводится	к обыкновенному дифференциальному уравнению

д-Г дг"-

CO следующими граничными условиями:
T = T o	при	Z =	O,	\
T = T ,	при	Z =	H,.	J	(7.43)
T = T J	при	Z = —		i

Если для

сокращения

ввести обозначения

T o - T i =

^Ti

То—

Т^ =

ЬТ.^.

то решение

при Z ^ O

имеет вид

Г = Г о — 8Г

. ^ =

„ - 1.г

(7.44а)

и при

Г = 7 ’оЧ-87’г 7 - = Т о + Хгг,

(7.446)

57’,

ЬТ.

Уравнение

(7.9) имеет

данном

случае

решения

'Kij =

-KIJ = O

равенства

(7.5)

дают

следующие значения

для

напряжений:

---°УУ—

= 0 .

(1_(1.2)

(7.45)

^ : ^ 0 . I

= ®

“

п —

(1 +

H-)(7*0+

(1- 1*-)"

Все другие напряжения

равны нулю.

Таким образом, распределение напряжений и температуры по толщине пластинки линейно и подобно. Но края пла

стинки, так же	как и в примере § 4 гл. VII, не свободны
от напряжений.	Вследствие того, что -Kii = O	и Wz =	O, обе
части пластинки	остаются плоскими.	оси Z	пред
Распределение напряжений в направлении

ставлено на рис. 20. Оно будет одинаковым в каждом сече нии пластинки, включая края х ± а и у:±.Ь. Напряжения, определяемые формулами (7.45), имеют результирующую

Р( = н { а ^ — - у SOJ — "У

M =

I—

(Cl “1- 3CJ) + SOJCJ (Сг+ 3Cj)].

в этих двух выражениях для сокращения обозначено:

	OOJ = О0			CJ		Воз =	Од	O,;
		AJ = CiH			и	ho =	Сг//,
где	OQ— напряжение		при		Z - O , а		Oj и Og— напряжения
на	граничных	поверхностях			пластинки			Z = Aj и	Z = —
соответственно.
	Если края пластинки могут сме
щаться не поворачиваясь, т. е. они за
щемлены, то результирующую R можно
уничтожить путем наложения					растяги
вающего усилия равной величины. Если
это растягивающее усилие по толщине
пластинки H распределяется равномерно,
то	возникнет	дополнительное				напря
жение
*	R	Г	-ч	Cl	.4	¢¢1
°о— н ~		Г®
или если сюда		подставить уже найденные при Z =							O, Z = Ii
и Z = — Аг значения для				о,	то

[^o ~ Т ~ T •

Окончательные значения напряжений будут равны: о = о-|-о*, и отсюда

„р„	Z=	A.							1)87. +	-1 8П ],
при	Z=	O	;„ =	_	^	[	^	8Г. +	- \| 8Г,],
" P - Z -------А,			5, =	_	^	[	^	8Г. +	( - ^	- 1) 8П ].

Эти напряжения во всех точках пластинки одинаковы. Момент защемления M на границах пластинки после подстановки

значений для		напряжений будет:
^	~	“1 ^^2)	^ (^ 4 " ЗС1)	•
Это решение		представляет собой, разумеется, лишь прибли
жение,	так	как по обычной	теории пластинок	момент.

действующий на краях пластинки, дает линейное распределение напряжений по толщине пластинки Н, отличное от распре деления, полученного на рис. 21 на основе наших выводов. Однако результирующая и момент разности напряжений, как видно из рис. 22. равны нулю. Поэтому согласно принципу Сен-Венаиа их влиянием в достаточном отдалении от края можно пренебречь.

Рис. 21.

Если края пластинки имеют шарнирно-неподвижное опирание по краям, то на полученное решение задачи мы должны наложить добавочное решение, которое уничтожает заще мляющий момент H не вызывает на краях перемещений. Это те же граничные условия, которые имели место в предыду щем параграфе настоящей главы, и мы можем поэтому использовать полученный там результат. Для этого следует лишь подставить для M выражение

-------+ 3¾)

^ ( ¾ + Зс.) з щ .

Моменты в центре пластинки будут:

в ----

^ -------

Возникающие при этом напряжения следует присоединить к напряжениям, обозначенным выше через а^, ад и 02. Зна чения Ca* и Cy нужно брать из таблицы, приведенной в конце § 4 данной главы.

Г Л А В А VIIl

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ СИММЕТРИЧНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ

§1. Термоупругие уравнения

Втеле иращемия с осесимметричной нагрузкой при осе симметричном температурном поле возникает также осесим метричное напряженное состояние, так что во всех плоскостях, проходящих через ось вращения, возникают одинаковы напряжения и деформации. Все величины не зависят от меридио нального угла.

Воспользуемся цилиндриче скими координатами, направим

ось Z по оси вращения и обо значим через г расстояние точки от этой оси. Пусть — ра диальные напряжения, — тан генциальные напряжения и о^,— нормальные напряжения в напра влении оси Z . Из касательных на пряжений отличны от нуля только те, которые действуют по окруж

ности г = const и которые	мы обозначим о^,. Два других
касательных напряжения	и о^, обращаются в нуль по

условиям осевой симметрии. На рис. 23 показан элемент

объема	и	все действующие		на него	напряжения. Условия
равновесия		этого	элемента	имеют	вид:
для	радиального		направления
(о^^г rftp dZ)			(о„г rfcp (Ir) dZ —			dr rfZ rfcp = О

И ДЛЯ направления	оси	вращ ения
{а ^г	d r)			(о „ г d e й г ) d r = 0 .
Таким образом, два		уравнения,		соответствующие уравие>
нням (2.1), получают вид:
dftfr	I	^гг	I ^rr -
дг	^	дг	^	I	(8. 1)
	dcrg
			дг
	дг '			' г	}

Третье условие равновесия в тангенциальном направлении

вследствие осевой	симметрии удовлетворяется тождественно,
и поэтому мы его не рассматриваем.
Обозначим удлинения в радиальном направлении через
в тангенциальном — через		и в осевом — через	сдвиг
в плоскости г — Z	(изменение	первоначально прямого	угла
между направлениями г и г)		обозначим через 26^^*	^<^ли

перемещение точки в радиальном направлении обозначить через и, перемещение в направлении г через W, то между деформациями и этими перемещениями существуют соотно шения:

ди	и	^	дт	' - =	I /ди	,	дт\	,о лч
= г г = а ;:. ‘ „ =	~ .	^	=	' - =	T l f e	+	-гг)-	M
Эти выражения совпадают с зависимостями (2.2); значение
следует сравнить	со	значением,		даваемым формулой				(6.55).
Объемное расширение е			равно
				Sw				(8.3)
			д г ' г	дг	’			(8.3)
			д г ' г	дг	’

Уравнения (2.10), которые выражают связь между напря жениями и деформациями, остаются по существу неизменными. В принятых нами обозначениях получаем:

-2(1 аГ

о „ = 2 0 [ е „ +	‘ ~ 1 —i “^] ’	(8.4)
		(8.4)

<з„ == 20е„.

Подставляя эти		значения в		первое уравнение равнове
сия (8.1). получим
dtrr ,	К-	де	1+t^	дТ	дггг	= 0.'
дг	1 —2у. дг		1—2(1	дг "Т"	дг ^

Если выразить здесь согласно уравнениям (8.2) и (8.3) дефор

мации и объемное

расширение через перемещения, то

после

простых

преобразований найдем

д Р UаVI

1 ди

UKде __ 2^1+^^) ^dT

~ д г ^ ~ ^ Т 'д г '~ д ^ '~ 'г ^ '^ 1 —2(1^5^

1—2(1

“ 'дг

!оступая таким же образом со вторым уравнением (

олучим

V-

де , г„

1 + ( 1

дТ _ ^

дг

\ — 2(1

йг

1 — 2(1

дг

Вводя,

наконец,

вместо деформаций перемещения,

приходим

к уравнению

5¾

, 1

дт

,S P w .

де

2 (1 +(х)

дГ _

дг- ' г дг '

1 — 2(1

да

1 — 2(1

® дг

Выражен

д2 I 1 д I д2

представляет

оператор Лапласа

в цилиндрических координа

тах. Используя его, мы можем написать

два

последних

уравнения в

виде:

де

!•2(1+

а - ^ - О

’

1 — 2(1 дг

1— 2(1

дг

(8.5)

де

2(1 +

(1)

1 — 2(1

дг

1 -2(1

Так же как. и § 3 гл. II, попробуем искать частное рещение этой системы из двух дифференциальных уравнений в сле дующем виде:

дФ

^Ф

й*Ф I 1 дФ , д2ф

* = 1 Г '

(8-6)

При ЭТОМ уравнения (8.5) примут форму:
дJ. ф	Г- дг ^	1-2(х	А	Д Ф	aiZl = о
^	Г- дг ^	1-2(х	дг	1 -2\|х	“	дг
Так как
Д- 1 - Ф—		дг дг		д А ф = ^ д ф ,
дг	г2	дг дг		дг	дг	'

то наша система уравнений будет иметь вид*.

	^ Д Ф +	1	дг		2(1 + (*) .		= 0,
	^ Д Ф +	1 — 2\|1	дг				= 0,
	^ ^ Ф + т '				2(1+1*) .
	^ ^ Ф + т '					2(*
Проинтегрировав первое уравнение по г или второе по Z,
получим дифференциальное уравнение для Ф:
		дф =			! + i i a r .		(8.7)
					1—\|Д
Это уравнение совпадает с уравнением (2.13); следует
лишь	принять во	внимание,			что оператор Лапласа в цилин
дрических координатах			при		осевой	симметрии имеет, как
уже	упоминалось,	вид
		л _	а2	,	1 а ,	52
		^ ~ а г 2 “г '7 'а г “*"()22-
Если	найдено какое-либо			частное решение дифференциаль

ного уравнения (8.7), то по формулам (8.6) получаем деформации:

-			7 _ 52Ф	g g
^rr —	— г дг ’	— дг2>	''> ^~дгд^'

Подставляя эти значения i выражения (8.4), получаем выражения для напряжений:

» г .= 2 < з ( ^ - Д ф ) ,	; „ = 2 0 ( 1 ^ - Д ф ) ,
	(8.9)
;„ = 2 0 ( « - Д ф ) ,	- о „ = 2 0 ^ , .

Однако определенные таким способом напряжения (как уже указывалось при применении температурного потенциала

перемещений) в общем случае не удовлетворяют граничным условиям задачи. Поэтому на полученное решение следует наложить еще такое решение уравнений (8.5) при Г = О, которое удовлетворяет этим условиям.

Подобное решение можно построить с помощью функции перемещении Лява (подобно тому как использовалась функ ция напряжения Эри в плоской задаче). Как показано в тео рии упругости, в случае осесимметричного напряженного состояния перемещения и напряжения можно представить через производные некоторой функции L (а именно функции перемещений Ляпа) следующим образом;

^дг

=	20 а /	д''■L\
	1—2\|хаг Г	д Г -)’		(8.10)
				(8.10)
		a^Z. I
		дг^-\ '
Справедливость этих		формул _люжно проверить		путем под
становки выражений для и и W			в два основных	уравнения
(8.5)	при T = 0; при этом оказывается, что функция L должна
удовлетворять бнгармоническому			уравнению
		AAL =	O.	(8.11)

Если функция L определена, то полные напряжения рав ны; O= а-}-о. Перемещения при этом всегда однозначны.

§2. Температурные напряжения в полупространстве при наличии источника тепла на поверхности

Пусть	полупространство	заполняет	область	Z ^ O .
Поместим	начало координат i	точечном	источнике	тепла
(рис. 24).

Температурное поле, вызываемое таким источником в теле, заполняющем все пространство, выражается формулой

	T =	*	(8 .12)
где R = Y W	— мощность источника тепла. Это тем

пературное поле может быть использовано также для случая

рассматриваемого	полупространства, если			мы	предположим,
что поверхность, ограничивающая			полупространство, пол
	ностью		теплоизолирована.				Дей
IV	ствительно, вследствие					того, что
	температурный			градиент
			^ L -		W 'Z'
			дг '	'4пХ Ri
	равен		нулю	при	Z =	O,	то и
Рис. 24.	поток	тепла в		направлении			нор
	мали	к	поверхности,			ограничи

вающей полупространство, также обращается в нуль на по верхности Z = O.

Для нахождения напряженного состояния используем термоупругий потенциал перемещений и будем искать реше ние уравнения (8.7). Это уравнение для нашего случая при

нимает вид
R ‘	^	1 —(1 4яХ’	(8.13)
R ‘	^	1 —(1 4яХ’
Частным интегралом	такого уравнения будет		выражение
	гП—
проверить,	приняв		равенства
дг	R ' дг ^

Напряжения, соответствующие этому решению, согласно выражениям (8.9) будут иметь вид:

г = о х { § - ^ ) .

(8.14)

GKrz Ri •

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги