книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

Уравнения системы записываются в виде итерационной схемы Зейделя:

Ход выполнения итерационного процесса Якоби отображен на рис. 11.2, результаты расчетов приведены в табл. 11.2. После выпол-

пользуемая оценка показывает, что решение методом Зейделя также получено с погрешностью не более 0,0015.

132

x2

1

3x1 + 5 x2 = 9

x1

Рис. 11.2. Схема выполнения итераций метода Зейделя

В действительности точное решение системы и решение, полученное методом Зейделя после тринадцати итераций, различаются не более чем на 0,0005. Очевидно, что метод Зейделя дает последовательность, быстрее сходящуюся к точному решению.

Как и в предыдущем случае, матрица коэффициентов А представляется в виде суммы A = A1 + D + A2 с теми же обозначениями. Итерационную формулу метода Зейделя можно представить в форме

( A1 + D ) x(s+1) = f − A2 x(s).

Учитывая, как и ранее, что A2 = A − A1 − D , последнее выражение можно записать в виде итерационной схемы

( A1 + D)(x(s+1) − x(s) )+ Ax(s) = f .

11.1.4. Сходимость итерационных методов

Сравнивая формулы метода Якоби,

D(x(s+1) − x(s) ) + Ax(s) = f ,

133

и метода Зейделя,

( A1 + D)(x(s+1) − x(s) )+ Ax(s) = f ,

можно отметить, что если последовательности получаемых решений сходятся, то есть в некотором смысле x(s+1) − x(s) → 0, s → ∞ , то они

сходятся к решению исходных задач Ax(s ) = f . Однако возможна

ситуация, когда сходимость последовательности получаемых решений отсутствует.

Пример. Решить систему линейных алгебраическихуравнений

4x1 + 2x2 = 5,−20x1 + 5x2 = −2,5.

Точное решение этой системы алгебраических уравнений из-

вестно: x1 = 0,5, x2 = 1,5 .

Таблица 11.3

Отсутствие сходимости решения системы линейных алгебраических уравнений при применении метода Зейделя

Для нахождения решения используется итерационный метод Зейделя. Как и ранее, уравнения системы записываются в виде итерационной схемы:

134

Рис. 11.3. Отсутствие сходимости при использовании метода Зейделя

Результаты вычислений представлены в табл. 11.3. На рис. 11.3 показан ход выполнения итерационной процедуры Зейделя.

Расчеты показывают, что в рассматриваемом примере отсутствует сходимость последовательности получаемых решений: с увели-

x2(5) − x2(4) = 72 , причем с увеличением номера итерации различие

между найденными результатами увеличивается. Понятно, что итерационная процедура решения заданной системы алгебраических уравнений не позволяет получить последовательность решений, сходящуюся к какому-либо результату.

135

Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило (за небольшим исключением: квадратные, кубические, некоторые трансцендентные уравнения), используются итерационные методы.

11.2.1. Метод половинного деления59

Метод основан на теореме математического анализа [3]: функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала.

Предполагается, что функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [x0 , x1 ]. Метод заключается в последовательном сокращении

длины этого интервала для локализации корня уравнения (11.3). Первоначально проверяются значения заданной функции на концах интервала. В случае если

f (x(0) ) f (x(1) ) = 0 ,

один из концов интервала является искомым корнем уравнения. Если на концах интервала значения функции имеют разные

знаки, то имеет место соотношение

59 Встречаются иные названия этого метода: метод бисекции, дихотомии.

136

138

его концах принимает значения разных знаков. Это означает, что для поиска корня заданного уравнения может быть использован метод половинного деления. Результаты расчетов приведены в табл. 11.4. Значение корня уравнения (с погрешностью не более 10–10): 0,335 418.

x = ϕ (x).

Для приведения выражения (11.3) к требуемому виду можно воспользоваться простым приемом:

139

f(x) = f (x) + x − x = 0,

x= x + f (x) = ϕ (x).

Спомощью этой зависимости строится итерационный процесс

x(s+1) = ϕ(x(s) )

при некотором заданном начальном значении x(0) .

Пример. Найти корень уравнения 2x + sin х − 1 = 0 методом простых итераций. Уравнение преобразуется к стандартному виду

x= [1 − sin х]2

ик форме итерационного процесса

x(s+1) = 1− sin x(s) 2.

Результаты расчетов даны в табл. 11.5.

Таблица 11.5

Результаты вычисления корней уравнения 2x + sin х − 1 = 0 методом простых итераций при разных начальных значениях x(0)

140