книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Если применить к системе процедуру МКЭ, то получим систему линейных соотношений относительно обобщенных узловых перемещений следующего вида:

где [B] – глобальная матрица диссипативных коэффициентов. При вычислении амплитуды узловых перемещений доста-

1

точно рассчитать норму (ui 2 ui 2 )2 для определения запаздывания (сдвига по фазе относительно вынуждающей нагрузки)

1.4.6.Анализ неустановившихся процессов

вдиссипативных системах

Если для уравнения движения

применить процедуру МКЭ, то разрешающая система будет иметь вид:

Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными условиями проводится численно, используя методы Адамса, Рунге – Кутты, Ньюмарка.

1.4.7. Оценка диссипативных характеристик композитных материалов

Композиционные материалы обладают достаточно высокими диссипативными свойствами по сравнению с традиционными металлами и сплавами.

41

Причины: обилие внутренних границ раздела фаз, способность длительное время накапливать повреждения, применение в качестве компонентов композита материалов с высокими вязкоупругими свойствами.

В связи с тем что упругий оператор и диссипативный оператор внутреннего трения подобны, то для оценки эффективных диссипативных характеристик композитов используются методы механики неоднородных сред.

1.5. Стохастические краевые задачи динамики конструкций

Динамическое поведение конструкции описывается операторным уравнением вида:

где A, B, C – соответственно инерционный, диссипативный и жесткостный операторы.

Если внешнее воздействие является случайной функцией времени t и координаты r , f (t, r ) , то есть заданы ее статистиче-

ские характеристики (для стационарного эргодического поля это среднее f (t, r ) , дисперсия f (t, r ) и корреляционная

функция k f (r ,t, r ,t ) ), тогда исследование динамического поведения конструкции сводится к отысканию случайного поля u(r,t) ,

удовлетворяющего уравнению (1.5.1) и краевым условиям. Операторная форма уравнения (1.5.1) может иметь следующий вид

где L – детерминированный оператор, f (r,t) – случайное поле внешних перегрузок, u(r,t) – случайное, подлежащее определе-

нию поле.

Таким образом, имеем стохастическую краевую задачу динамики.

Рассмотрим основные методы решения задач такого вида.

42

1.5.1. Получение решения в моментных функциях (метод моментных функций)

Применим операцию осреднения к стохастическому дифференциальному уравнению

полученное таким образом сравнение является уже детерминированным уравнением относительно средних значений полей u(r,t)

и f (r,t) .

Подобную процедуру можно выполнить для вариационных функций

по определению, но, с другой стороны, для реакций fk справедливо операторное уравнение (1.5.1.1), тогда

N N k 1

Если L() – линейный оператор, то справедливо представление следующего вида:

43

или окончательно

детерминированное операторное уравнение относительно ковариационной функции.

Решая полученное уравнение относительно неизвестной функции Ru (r ,t,r ,t ), получим ковариационную функцию иско-

мого поля. Если при этом положить r r и t t , то получим поле дисперсий или флуктуаций случайного поля. Исходная стохастическая задача, таким образом, сводится к решению детерминированных краевых задач, а само решение получается в виде набора детерминированных его моментных функций (от термина «статистический момент»).

1.5.2. Использование функций Грина при построении решения статистической задачи

динамики в моментных функциях

Использование функций Грина при построении решения статистической задачи динамики в моментных функциях. Попробуем разрешить уравнение (1.5.1) относительно u(r ,t) :

Для получения оператора Н, необходимо построить функцию Грина, решаявспомогательную краевую задачу дляуравнения вида

где G(r ,t,r ,t ) – функция Грина. Вспомогательная задача явля-

ется детерминированной и может быть решена обычными методами анализа, тогда уравнение (1.5.1.1) примет вид

44

Полученное уравнение справедливо для любых функций f (r ,t ) , в том числе и случайных. Тогда, применяя операторы осреднения к u(r ,t) , можно получить любые интересующие мо-

ментные функции. В прикладных расчетах обычно ограничиваются анализом среднего и дисперсии.

В том случае, когда u(r ,t) и f (r ,t ) являются тензорными случайными полями, решение может быть представлено при помощи тензора Грина Gij (r ,t, r ,t ) в виде

k 1 V

1.5.3. Метод спектрального разложения

Метод основан на свойствах случайных полей, допускающих каноническое разложение вида:

n 1

где Fn – случайные величины, n (r ,t) – детерминированные

функции.

В этом случае решение статистической задачи динамики можно разыскивать в подобном виде

n 1

где Fn – случайные величины, n – некоторые независимые де-

терминированные функции.

Подстановка представлений (1.5.3.2) в исходное уравнение (1.5.2.3) позволяет получить для отыскания n приведением вы-

ражений при одинаковых случайных коэффициентах Fn следующие соотношения

45

таким образом, статистическая краевая задача сводится к последовательности решения детерминированных задач.

1.5.4. Разложение по собственным формам

Разложение поля u по собственным формам дает представление в виде

n 1

где n – собственная формаколебаний, un (t) – случайнаяфункция.

Подставляя ряд в уравнение (1.5.2.3) и используя процедуру метода Галеркина и свойство ортогональности собственных форм, получим набор стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений

Fn (t) – случайные функции времени.

Решение каждого из уравнений можно получить, например, используя методы моментных функций.

1.5.5. Численные методы решения статистических задач динамики

Численные методы решения статистических задач динамики в основе своей содержат метод реакций (метод МонтеКарло).

Так, в соответствии с методом реакций

46

где uk – реализации случайной величины u, определяемые численно, используя для этого процедуру метода конечного элемента

где {Fk } – реализация вектора внешних случайных воздействий

на механическую систему.

Блок-схема метода Монте-Карло показана на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Блок-схема метода Монте-Карло: 1 – методы скользящего суммирования; 2 – метод конечного элемента; 3 – эргодичный процесс по одной реализации (а); и неэргодичный по большому числу разных реализаций (б) (рис. 1.11)

Fа

t0

б

Рис. 1.11. Случайные процессы ( Fa и t0 случайные величины)

47

1.6. Распространение волн в неоднородных средах

Распространение упругих волн в неоднородных средах в общем случае предполагает рассмотрение одного из двух видов:

1.Длина волны значительно больше характерного размера неоднородности.

2.Длину волны нельзя считать существенно большей по сравнению с масштабом неоднородности.

1.6.1. Волны в эквивалентной гомогенной среде

Рассмотрим распространение волн в неоднородной среде при выполнении условия большой длины волны. Приняв данное предположение, можно считать, что неоднородная среда ведет себя как эквивалентная однородная с эффективными упругими и инерционными характеристиками. Тогда основные уравнения динамики примут вид:

ij (ui, j u j,i )/2,

где – плотность среды, осредненная по объему материала, Cijkl –

эффективные упругие модули среды, рассчитанные с использованием моделей и методов механики композиционных материалов; , и u – осредненные нестационарные поля напряжений, деформаций, перемещений.

48

Если ввести обозначение x at (характеристики волнового уравнения) и перейти к новым переменным, то получим:

скорости распространения продольных и сдвиговых волн в материале.

В анизотропных средах скорости волн в направлении главных осей анизотропии отличаются, при этом волны, распространяющиеся в произвольном направлении, образуют продольную и сдвиговую форму деформирования одновременно, их взаимодействие и наложение приводит к сложным динамическим эффектам (рис. 1.12).

1.6.2. Прохождение волн в слоистых средах

Распространение коротких импульсов в неоднородных средах рассмотрим на примере слоистого материала (для простоты двухкомпонентного и периодического). Исследуем скорость распространения волн поперек пакета слоев (рис. 1.13).

х

1 2

1 2

Рис. 1.13. Двухкомпонентная периодическая среда

49

Сравним со скоростью распространения длинных волн

1.6.3. Отражение волн на границах раздела

Путь волны проходит из слоя 1 в слой 2 (рис. 1.14) через поверхность раздела. Запишем условия непрерывности для напряжений при перемещении на границе слоев.

–

+0

Рис. 1.14. Волны напряжений на границе раздела слоев: σ0 – падающая волна напряжений; σ+ – проходящая волна;

50