книги / Применение теории вероятностей в расчётах систем электроснабжения
..pdfСобытия Uу+ и Uу- — противоположные и за время наблю дения Т„ образуют полную группу событий. Поэтому вероят ность события Uу- есть дополнение вероятности события Uу+ до единицы. Отсюда следует, что
e(Uy-]=\—e( Ьу+)= 1— 0,416= 0,584.
Численное определение вероятностен отказов и нормаль ной (надежной) работы элементов СЭС также основывается на понятии геометрической вероятности. Однако в - качестве меры всей рассматриваемой области принят год 7Г= 8760 ч. Так как отказ любого элемента СЭС может произойти в ре зультате аварийного пли преднамеренного отключения, то со ответствующие вероятности отказов определяются по выра жениям *[6]
,» |
_ |
(а» |
(1.4) |
|
ав — |
'р • |
|
/. |
——/"Л |
(1.5) |
|
<■HP- |
-р~ 1 |
где /ап, /пр — длительности аварийного и преднамеренного от ключения соответственно.
Вероятность надежной работы любого элемента СЭС, со бытия, противоположного отказу, находится но выражению
11
е„ = |
/ряб |
( 1.6) |
|
Тг |
|||
|
’ |
где /раб — длительность нормальной работы.
Практические формулы по определению вероятностей от казов элементов СЭС в результате аварийного отключения, приведенные в таблице 1.1, отличаются от выражения (1.4). Эти отличия обусловлены конкретными особенностями задач электроснабжения и тем, что элементы СЭС выполняются на различные напряжения и эксплуатируются в различных усло виях, поэтому в выражение (1.4) вводится показа’гель т — количество повреждений в год. Для протяженных элементов СЭС (ЛЭП) показатель относится к 100 км длины линий пе редач.
Таблица 1.1
Практические формулы по определению вероятностей отказов элементов систем электроснабжения
ль |
Название элемента |
|
Условное |
Формула вероятности |
||||
п/н |
СЭС |
|
обозначение |
|
отказа |
|
|
|
1 |
Одноцепная линия |
1--------------- 100 |
|
/ап/ |
|
|
||
|
электропередач |
е°а~ |
Тг100 |
т |
||||
|
|
|
|
|||||
2 |
Двухцепнаи линии |
|
|
|
|
0,85/ав1 |
|
|
1 |
= 1 |
» |
с’ а в - |
Тг-100 |
|
т |
||
|
электропередач |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0,15/ав/ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
е ав_ |
Тг-100 |
|
т |
3 |
Трансформатор, иык.ио,- |
|
К Е Н |
(т) |
£ а в = |
/а» |
№ |
|
|
чатель, разъелнпптель, |
|
и о н |
(В) |
у |
|
||
|
отделитель, автоматиче |
|
н — 1(р) |
|
|
|
|
|
|
ский выключатель |
|
Н 4'Н (0) |
|
|
|
|
(л)
Втабл. 1.1- е'ав и — вероятности отказов одной цепи
идвух цепей одновременно в двухцеиной линии электропере дач. Длительности аварийного и преднамеренного-отключе ний, а также показатели повреждаемости элементов СЭС в год, т, приведены в работе [7].
П р и м е р 9. Для участка схемы СЭС, изображенной на рис. 4, определить вероятности отказов В, Л и Т в результате аварийного и преднамеренного отключений. Напряжение на
гг
шниах ЗРУ £/=10 кВ, длина линии электропередач 1=2 км.
Из работы |
[7] для |
|
элементов СЭС |
находим: |
тв = 0,005; |
|||
^ав(в)= 15 ч; |
/пр(В)= 15 |
4j |
т л = 4; |
£ав(л)= 15 ч: |
/пр(л)= 15 ч: |
|||
т Т = 0,07; /ав(Г)= 60 |
ч; |
taP(r)=10 |
ч. |
|
|
|
||
Вероятности отказов элементов СЭС в результате аварий |
||||||||
ного отключения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
0,005=8,56-10 |
|
||
|
^а(л) — |
1ап(л |
т л = |
15-2 |
4= 137-10-6; |
|||
|
Тг-100 |
8760-100 |
||||||
|
<?а(Т) = |
/ait(T) |
тт= |
60 |
0,07 = 479-10 '6; |
|||
|
|
Тг |
|
8760 |
|
|
|
|
Вероятности отказов элементов СЭС в результате предна |
||||||||
меренного отключения |
|
|
|
|
|
|||
|
епр(в)?= |
|
^пр(В) |
|
_ _ 15 |
= 1710-10- 6.* |
|
|
|
|
|
Тг |
|
87*60 |
|
|
|
|
£пр(л) — |
|
6ip(.D |
|
15 |
= |
1710-10~°; |
|
|
|
|
Тг |
|
8760 |
|
|
|
|
в м о , — |
|
|
|
|
|
П4 0 - 1 Г* . |
|
Полные вероятности отказов каждого элемента СЭС
ев= <?а(В) + епр(В) = 8,56•10-64 1710•10-6= 1718,56- 10~6;
ел= емл) + ет л)= 137- И)-°+ 1710-10-°= 1847-10"°; ет= еа{Т) 4 £лр(Т) = 479 • 10-° 4 1140-10-°= 1619-10-°.
1.3.ПРИНЦИП ПРАКТИЧЕСКОЙ УВЕРЕННОСТИ
Взадачах электроснабжения вместо невозможных и до стоверных событий используются понятия практически невоз можных и практически достоверных событий. Практически достоверным событием называется событие, вероятность ко торого близка к единице. Практически невозможным собы тием называется событие, вероятность которого нс в точно сти равна нулю, а весьма близка к нулю. Эти события вво дятся согласно принципу практической уверенности [3], ко торый формулируется следующим образом: если вероятности события А в опыте весьма мала — е ( А ) < Е х, то можно быть практически уверенным в том. что при однократном воспро изведении опыта событие А не произойдет.
13
Принцип практической уверенности исключает из рассмо трения события, имеющие вероятность, меньшую £ Л. Вероят ность Ех называется граничной вероятностью и ее значения
задаются |
для каждой |
конкретной задачи в соответствии с |
принятым |
критерием |
оптимальности [1, 4]. Однако значения |
£.г могут задаваться и из условий безопасности или надеж ности. В задачах электроснабжения граничная вероятность Ех принимается часто равной 0,05 [5, 6]. Поэтому практиче ски невозможным событиям соответствует вероятность е(А )< <0,05, а практически достоверным событиям — е(А )> 1 —
—£.v>0,95. Принцип практической уверенности является од ним из основных принципов практического использования теории вероятностей.
1.4.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.4.1.Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Под суммой нескольких событий понимается событие, со стоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Теоре ма сложения вероятностей для несовместных событий форму лируется следующим образом.
Для двух событий Aj и А2 вероятность суммы двух несов местных событий А] н Аг равна сумме вероятностей событий
Ai и А2: |
|
е(А, + А2)= а (А 1)+ а (А 2), |
(1.7) |
для п событий Ai, А2, , А„ вероятность суммы п несов местных событий равна сумме вероятностей этих событий:
е(2 |
At) = 2 е (Ai). |
(1.8) |
ы 1 |
/-1 |
|
Если события Аь А2, , Ап образуют полную группу со бытий, то сумма их вероятностей равна единице:
2 е(А() = 1,
/=-1
1.4.2. Теорема умножения вероятностей независимых событий
Под произведением нескольких событий понимается собы тие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Теорема умножения вероятностей для независимых событий формулируется следующим образом.
14
Для двух событии А, и А2 вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
<?(A,A2)=e(Ai)£>(A2), |
(1.9) |
для п событии Аь А2, , А,, вероятность произведения п независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
е(П А,) = |
П е (А,), |
(1.10) |
1 |
/- 1 |
|
где П — символ произведения.
1.4.3. Теорема сложения вероятностей, совместных событий
Теорема сложения для совместных событий формулиру ется следующим образом.
Для двух событий А] и А2 вероятность' суммы двух сов-, местных событий Aj и А2 равна сумме вероятностей событий
Ai и Л2 без произведения вероятностей событий Aj |
и А2: |
|
е (А[ -Т Ао) = е (Ai) + е (А2) — е (Ai А2), |
(1.11) |
|
для п событий Аь А2, |
, А,, вероятность суммы |
п совме |
стных событий равна алгебраической сумме вероятностей п
событий и суммам вероятностей произведений |
комбинаций |
||||
этих событий по два, по три, по четыре, |
, по п: |
||||
п |
п |
п ~ 1 л |
л —2 л —1 « |
||
е(2 |
А ,)= 2 |
е(А,),— 2 |
2 е(А,-/)+ |
2 2 |
2 е(Ац*)- |
i — 1 |
/г»1 |
/ « 1 |
/ss/-f->1 |
1 = 1 / |
1 Л « / + 1 |
|
|
|
I)”"1 П e{Ai). |
(1.12) |
|
|
|
|
/ski |
|
|
1.4.4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Теорема умножения для зависимых событий формулирует ся следующим образом.
Для двух событий Ai и Л2 вероятность произведения двух событий А((А2) на условную вероятность события A2(Ai), вычисленную при условии, что событие А|(А2) имело место,
е{А[А2) =£>(AI )<?(A2/A |); |
|
e(AiA2)= c (A 2)e(A ,/A 2). |
(1.13) |
Условной вероятностью события AI (A2) при наличии со бытия A2(AI ) называется вероятность события АДА;»), вычи-
15
сленная при условии, что событие A2(AI ) произошло. Услов ная вероятность обозначается е(А |/А 2) или е(А2/А |).
Для п событий Аь А2, , Ап вероятность произведения п
событий равна |
произведению вероятности события А| на ус |
|
ловные вероятности последующих 'событий А2, Аз, |
, А,„ вы |
|
численные при |
условии, что предыдущие события имели ме |
|
сто, |
|
|
е (А)А2.--Ан) = е {А\)е (А2/ Ai) ...е (A«/Ai А2...А«-1). |
(1.14) |
При использовании теорем сложения и умножения в ре шении практических задач следует руководствоваться про стым правилом: если в цепи рассуждений, приводящих к от вету на поставленный в задаче вопрос, логически получается союз «или», то применяется теорема сложения, если союз «и» — теорема умножения.
П р и м е р 10. Четыре ЭП, получающие питание от шин СП (см. рис. 6), имеют следующие коэффициенты включения:
KBI = 0,1; Кв2= 0,2'; |
Квз= 0,3; Км = 0,4. Определить вероятно |
||||
сти одновременного |
отключения всех ЭП |
(<?о.4 = ?), |
работы |
||
только одного |
ЭП |
(ei,4 = ?), |
одновременной работы |
двух, |
|
трех, четырех |
ЭП |
(<?2,4 = ?; |
<?3>4 = ?; е^Л = ?) |
соответственно. |
События включения и отключения ЭП — события несов местные, противоположные и образуют полную группу собы тий (см. примеры 5 и 6). Поэтому, из условця (1.2) опреде лим вероятности отключенного состояния каждого из четы рех ЭП соответственно:
Ко, = 1 —0,1=0,9; Ко, = 1 —0,2 = 0,8; Ко;, = 1 —0,3 = 0,7; Ко, = = 1—0,4 = 0,6.
"Чтобы найти £?0,4 будем рассуждать так: все ЭП отклю чатся, если отключатся ЭШ и ЭЛ2 и ЭЙЗ и ЭП4. Применим теорему умножения для независимых событий (см. выраже ние (1.8) и пример 7):
е0,4 = Ко, Ко, Ко, Ко, =0,9*0,8-0,7-0,6 = 0,3024.
Для нахождения <?j.4 иень рассуждений будет выглядеть следующим образом: один ЭП будет во включенном состоя нии только тогда, когда включится ЭП1 и отключатся ЭП2, ЭПЗ, ЭП4 или включится ЭП2 и отключатся ЭП1, ЭПЗ, ЭП4 пли включится ЭПЗ и отключатся ЭП1, ЭП2, ЭП4 пли вклю чится ЭП4 и отключатся ЭП1, ЭП2, ЭПЗ. Применим теорему умножения независимых событий и теорему сложения для несовместных событий. Последнее объясняется тем, например, что для нахождения е\,ь события включения ЭГ11 и ЭП2 одно-
16
временно — события несовместные по физическому смыслу задачи.. Согласно рассуждениям вероятность включения одно го из четырех ЭП
^1,4 “ Кв| Ко, Ко., Ко, + Ко, Кв» Ко, Ко, 4"Ко, Koj Кв, Ко, ”г
+ Ко, Ко, Ко, Кв, =0,0336 + 0,0756+0,1296+0,2016=0,4404.
'Значения вероятностей включения двух, трех и четырех ЭП соответственно
£*2,4 = 0,2144; еъл = 0,0404; ем = 0,0024.
Все события в примере образуют полную группу событий, следовательно,
5
2 е (А/) = 0,3024 + 0,4404 + 0,2144 + 0,0404 + 0,0024=1.
7=1
Однако согласно принципу практической уверенности, в даль нейших расчетах нет необходимости учитывать все возмож ные события: достаточно рассмотреть только практически до стоверные, а практически невозможные — исключить. Коли чество практически достоверных событий — вероятностный максимум тх — в задачах электроснабжения определяется по двум условиям [1]:
m r—1 |
(1.15) |
|
2 |
e(Ai) < 1 —£*; |
|
/=*1 |
|
|
т* |
|
(1.16) |
is2si е(А ,)> 1 —Ех. |
||
Так, для примера 10 |
и принятой £* = 0,05, |
вероятностный |
максимум определится следующим образом. Суммируем ве роятности событий по (1.15) до тех мор, пока оно выполняет ся:
тг-г-1
2 е(А,-) =0,3024+ 0,4404 = 0,7428 < 1—0,05. *«=i
Несоблюдение условия (1.15) есть выполнение условия (1.16):
тх
2 е (А/) = 0,7428 + 0,2144 = 0,9572> 0,95.
/= 1
Следовательно шЛ= 2. События одновременной работы грех и четырех ЭП практически невозможны.
17
1.5.ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ
ВСЭС события, как правило, наблюдаются в результате повторения одних и тех же независимых опытов или незави симых серин аналогичных опытов. Под независимыми опыта ми (сериями) понимаются опыты (серии), в которых вероят
ность ожидаемого события не зависит от вероятности этих же событий, но в других опытах пли сериях. Примером повто рения одних и тех же опытов является циклическая работа одного ЭП (примеры 1 и .6). Продолжительность одного опы та равна /ц, а ожидаемыми событиями являются включение ЭП с вероятностью Кв и отключение с вероятностью К0. При мером серии аналогичных опытов является циклическая ра бота четырех ЭП, представляющая четыре серии опытов (пример 10). В каждой из серий опытов события включения ЭП происходят с различными вероятностями: KBI = 0,1; Кв2—
=0,2; КВЗ=0,-3; Кв4 = 0,4.
Впрактических задачах электроснабжения целью расчета является определение общего числа т, вероятностей ет, средней длительности 1т и частоты vw возникновения ожида емых т событий в результате п повторений опытов или серий
аналогичных опытов. Однако вероятности событий от |
опыта |
к опыту или в каждой из серий аналогичных опытов |
могут |
быть одинаковыми или различными. В первом случае для оп ределения характеристик т событий применяется частная теорема о повторении опыта, во втором — общая теорема о повторении опытов.
1.5.1. Частная теорема о повторении опытов
Появление пг событий в результате п повторений опытов образуется по сложной схеме. Для появления т событий не
обходимо, чтобы в п |
опытах |
появилось ожидаемое событие, |
а в остальных (п— т ) |
опытах |
это событие не появилось. |
Гак, например, при работе трех ЭП с коэффициентами вклю чения Кв1 = КВ2 = Квз вероятности появления двух ( т = 2) со бытий, заключающиеся в одновременной работе ЭП1 и ЭП2, ЭГ12 и ЭПЗ, ЭП1 и ЭПЗ, согласно теореме умножения неза висимых событий соответственно равны:
для ЭП1 и ЭП2
в,э.з= Кв1 Кв, К ,3 =Ки2Ко‘; для ЭП2 и ЭПЗ
е"2л*=Ко, Кв, Кв., = К и-Ко|; для ЭП1 и ЭПЗ
^ " 2,3 = KBj Ко, Кв, = Кв2 Ко1;
14
Для вычисления вероятности появления двух событий не имеет значения, какая комбинация ЭП это событие сосТавляет, лишь бы было т = 2:
^ , з = З К в2К о 1.
Таким образом, работа двух ЭП из трех может наблю даться в результате появления трех комбинаций. Количество комбинаций определяется сочетанием из 3 по 2;
о о |
1*2*3 |
п |
Сз |
1 - 2 . Т = 3 - |
В общем случае для т событий в результате п опытов веро ятность одной комбинации равна произведению вероятностей Квт /Со,*"т , а количество комбинаций определяется числом со четаний:
Г' т — _____ Ji*_______
"т\{п—т)\
Частная теорема о повторении опытов формулируется сле дующим образом:
Если производится п независимых опытов, в каждом из ко торых событие А) (А2) появляется с вероятностью Кв (Ко), то вероятность е,п того, что событие АДАо) появится m раз, оп ределяется формулой
<?„, = С , , " 'К в' " К о " " " = С |
, |
( 1 — К в ) " - '" * |
( 1 . 1 7 ) |
Выражение (1.17) называется биномиальным распределе нием вероятностей. Вероятности еш при независимых опытах образуют полную группу событий, так что
2 е,п= 1. 'ПсО
Общее число m событий в результате п повторений опытов находится по выражениям (1.15) и (1.16) для заданной гранич ной вероятности Ех. Средняя длительность и частота возник новения m событий в результате п опытов определяются ио выражениям [1]
1п = |
К ,К 0 |
(1,18) |
|
X [ш Ко+ (л—/и) К»] |
|||
|
|
||
х\„ = - Г«гп^ |
(1.19) |
||
где к — -7- — интенсивность возникновения |
события в опы- |
||
41 |
|
|
|
тах. |
|
|
19
1.5.2.-Общая теорема о повторении опытов
Общая теорема о повторении опытов формулируется сле дующим образом.
Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие Ап(А2,) появляется с вероятностью KBI(KOI), i'= l, 2, 3, , п, то вероятность ет'того, что событие AI/(A2i) появится пг раз, равна коэффициенту при zm в разложении по степеням z производящей функции:
Ф„(2)= П (Ко. + Кв/г), |
(1.20) |
*=1 |
|
где <prt(z) — производящая функция вероятностей |
п — ко |
личество опытов или серий опытов; i — номер опыта или се рии; z — произвольный параметр; К„,-, Кв<- — коэффициенты отключения и включения ЭП в t-том опыте; П — символ про изведения.
|
Производящую функцию |
cp„(2) представим в .виде много |
||||
члена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
emzm= |
П CKO«+ KB/Z). |
(1.21) |
нов |
Раскрывая скобки и выполняя приведение подобных чле |
|||||
в |
правой |
части |
выражения (1.21), получим |
вероятности |
||
е0, |
е\, |
е2, ез |
е,п, |
еп как коэффициенты при z |
в нулевой, |
первой, второй, третьей, m-ной, /г-ной степенях. События, ве роятности которых вычисляются по выражениям (1.20) и (1.21), образуют полную группу событий, так что
2 e,nzm= 1. /71=0
Общая теорема о повторении опытов формализует вычи сление вероятностей появления событий и позволяет избе жать применения более громоздкого математического аппа рата теорем умножения и сложения.
П р и м е р 11. Для условий примера 10 проверить воз можность применения формул (1.20) и (1.21) и определить вероятностный максимум тх при граничной вероятности /+=0.05. Составляем производящую функцию вероятностен:
Ф4 (z) ■= и (КоН-Кв/2) = (6,9 + 0,12) (0,8 + 0,22) (0,7 + 0,32).
/ = I
X (0,0 + 0,42) = 0,3024 + 0,44042+0,2144 22 + 0ДМ0423 +
+ 0,002424,
20