книги / Реализация решения задач механики контактного взаимодействия в прикладном пакете ANSYS

сфер будем в рамках теории упругости, аналитическое решение данной задачи рассмотрено подробно А.М. Кац в учебнике [36].

2

Sк

1

z

Рис. 2.28. Схема контакта двух сфер под действием постоянной сжимающей силы

2.3.1. Математическая постановка задачи о контактном взаимодействии двух сфер под действием сжимающей силы

Математическая постановка задачи об индентировании (сдавливании) сфер постоянными сжимающими силами P включают уравнения упругости, геометрические и физические соотношения в рамках теории упругости, а также контактные граничные условия, действующие на границе соприкосновения сфер, которые аналогичны математической постановке, представленной в подразд. 2.1, –

уравнения (2.1)–(2.7).

Математическая постановка (2.1)–(2.7) дополняется граничными условиями и условиями симметрии на поверхностях S1

и S2 . На S1 наложены граничные условия вида

на S2 наложены граничные условия вида

51

неизвестные величины, а остальные наружные поверхности являются свободными от нагрузки.

Граничные условия (2.10), (2.11) дополняются условиями симметрии на поверхностях S1 и S2 , при этом поверхности S1

иS2 под действием давления не изгибаются.

2.3.2.Аналитическое решение задачи контактного взаимодействия о сдавливании двух сфер

Врамках аналитического решения задачи о вдавливании сферического штампа в сферу с учетом контактного взаимодействия в зоне соприкосновения тел показано, что, согласно теории Герца,

контактное давление Pк находится по формуле

щадки контакта; p0 – максимальное контактное давление на пло-

щадке.

В результате математических выкладок в рамках механики контактного взаимодействия найдены формулы для определения a и p0 :

52

где R1 и R2 – радиусы контактирующих сфер; v1 , v2 и E1 , E2 –

коэффициенты Пуассона и модули упругости контактирующих сфер соответственно.

Можно заметить, что в формулах (2.13), (2.14) коэффициент, отвечающий за механические свойства контактной пары материалов, имеет одинаковый вид, обозначим его

в таком случае формулы (2.13), (2.14) имеют вид

Реализация контактного взаимодействия сферического штампа и сферы будет включать в себя: сферический стальной штамп и упругую полимерную сферу из модифицированного фторопла-

ста. При этом сила индентирования штампа F 1,5 106 Н.

В табл. 2.3 приведены свойства материалов штампа и полупространства, а также характеристики контакта, полученные из аналитического решения.

Таблица 2 . 3

Основные характеристики материалов, геометрии и нагрузки аналитического решения

53

Распределение контактного давления, полученное в рамках аналитического решения задачи о вдавливании сферического стального штампа постоянной силой в полимерную сферу, показано на рис. 2.29.

Рис. 2.29. Аналитически полученное распределение контактного давления

2.3.3. Программа контактного взаимодействия сферического штампа с полупространством под действием постоянной сжимающей силы

Моделирование контактного взаимодействия в процессе индентирования сферического штампа в упругую сферу постоянной силой происходит по аналогии с подразд. 2.2.3. Моделирование задачи контактного взаимодействия сферического штампа с полупространством проводилось в программном комплексе ANSYS. Контактная задача отличается только геометрией объекта индентирования, в связи с этим нецелесообразно приводить повторно пошаговое моделирование задачи контакта тел канонической формы в интерактивном режиме работы программного комплекса ANSYS. Решение задачи об индентировании сферы сферическим штампом под действием постоянной силы можно записать в виде программы в текстовом файле, которая имеет следующий вид:

54

Finish

/CLEAR, NOSTART /FILNAME, ModelCont2 /CWD,'D:\Ycheba'

/PREP7

ET,1,PLANE182

KEYOPT,1,3,1

ET,2,CONTA171

KEYOPT,2,3,1

KEYOPT,2,5,1

ET,3,TARGE169

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,2E11

MPDATA,PRXY,1,,0.3

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,2,,8.64E8

MPDATA,PRXY,2,,0.461

CYL4,0,1,0,0,1,-90

CYL4,0,-1,0,0,1,90

ASEL,,,,1

AATT,1,,1,0,

ALLSEL

ASEL,,,,2

AATT,2,,1,0,

LSEL,,,,1

LATT,1,,3,,,,

55

ALLSEL, ALL

LSEL,,,,4

LATT,2,,2,,,,

ESIZE,0.025,0,

ALLSEL,ALL

AMESH,ALL

LSEL,S,,,1,4,3

LMESH,ALL

ALLSEL,ALL

DL,6,,ALL,0

ALLSEL,ALL

FK,3,FY,-1.5e6

LSEL,S,,,2

NSLL,S,1

CP,1,UY,ALL ALLSEL

/SOLU

ANTYPE,0

NLGEOM,1

NSUBST,20,0,0

OUTRES,ALL,1

TIME,1

SOLVE

56

2.3.4. Анализ результатов моделирования задачи контактного взаимодействия сферического штампа с полимерной сферой в программном комплексе ANSYS

Аналогично примеру, рассмотренному в подразд. 2.2, покажем результаты решения задачи об индентировании сферического штампа в полимерную сферу в виде перемещений по координате y (рис. 2.30, а) и интенсивности напряжений (рис. 2.30, б) конечноэлементной модели контактного взаимодействия.

Рис. 2.30. Перемещения модели контактного взаимодействия по координате y (а) и интенсивность напряжений (б)

Рис. 2.31. Статусы контакта (а) и контактное давление (б)

57

В рамках анализа контактного состояния зоны соприкосновения сферического штампа и сферы рассмотрим статусы контактных состояний (рис. 2.31, а) и контактное давление (рис. 2.31, б).

2.3.5. Анализ точности численного решения задачи контактного взаимодействия сферического штампа со сферой в программном комплексе ANSYS

Для анализа точности численного решения контактной задачи о деформировании полимерной сферы сферическим индентором под действием постоянной силы проведем серию численных расчетов, отличающихся друг от друга степенью дискретизации ко- нечно-элементного решения задачи. На степень дискретизации решения задачи влияют параметры конечно-элементной сетки модели исследования. В табл. 2.4 представлены характеристики ко- нечно-элементной сетки модели контактного взаимодействия «штамп–сфера».

В результате реализации серии численных расчетов были получены шесть полей распределения контактного давления при разной степени дискретизации модели исследования, их сравнение с аналитическим решением представлено на рис. 2.32.

Аналогично ранее рассмотренной задаче в подразд. 2.2.6, по анализу решения задачи контактного взаимодействия по контакт-

58

ному давлению можно сделать вывод о сходимости численного решения задачи при увеличении степени дискретизации конечноэлементного решения задачи. На рис. 2.32 видно, что наименьшее отличие от аналитического решения имеют конечно-элементные решения задачи № 5, 6. Сравним численные расчеты задачи № 5 и 6 с аналитическим решением задачи (рис. 2.33).

Рис. 2.32. Анализ сходимости численного решения задачи

На большей площади контактной поверхности численное

ианалитическое решения задачи имеют хорошее количественное

икачественное соответствие. При этом у края контактной зоны (см. рис. 2.33) численные решения задачи и аналитическое решение имеют наибольшие отличия. Стоит отметить, что распределение контактного давления численного решения задачи № 6 имеет наименьшее количественное и качественное отличие от аналитического

решения задачи, при этом распределение контактного давления у численного решения более равномерное. Как и в подразд. 2.2.6, можно сделать вывод о сходимости численного решения к аналитическому решению при увеличении степени дискретизации конечноэлементной модели.

59