Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

−(1− α β i)Fβ( i) + µF(−β i) = 0,

и, следовательно,

1 − α β i

F (β i)

= µ

F − β i

(6.55)

причем β ≠ 0 , так как

Ф (0) = − A0 (1 − ) ≠ 0 при µ≠ 1.

Отсюда, учитывая, что F ( z)

– полином Гурвица, и рассуждая анало-

гично тому, как в лемме 1, будем иметь

F (β i)

F (−β i)

≠ 0.

Поэтому из неравенства (6.55) выводим

= µ ,

1 − α β i = µ,

т.е. 1 + α β

ˆ 2

что невозможно при α > 0 и действительном β

≠

Из формулы (6.54) вытекает, что при

µ=1 полином Ф ( z)

имеет

двукратный нулевой корень. Пусть корни z p ( ) →

0 и zq ( ) → 0 при µ→

−1 0 .

На основании известных соотношений между корнями и коэффициентами полинома при 0 ≤ µ<1 получаем

n+2

∑

(µ)

j=1

или, переходя к действительным частям, находим

n+2

∑ Re

( )

A .

(6.56)

j =1

Отсюда следует, что один из корней z p ( ) и zq ( ) при 0 ≤

µ<1 должен

иметь положительную вещественную часть, так как в противном случае, при

µ→ −1 0 , левая часть равенства (6.56) стремилась бы			к −∞ , а правая
оставалась ограниченной и	положительной, что, очевидно, невозможно.
А поскольку zn+2 ( ) есть	единственный корень с		положительной
вещественной частью при 0 ≤	µ<1, то полагая
Re z p	( ) > 0 ,	lim zp ( ) = 0,
		µ→ −1 0

получаем p = n + 2 . Без нарушения общности рассуждения можно принять q = n + 1 и, следовательно,

	lim zn+1 ( ) = 0 .
	µ→ −1 0
Тогда, учитывая, что	α A1− (1− )A2 →α ≠A1
при µ→ −1 0 , будем иметь	α A1− (1− )A2 →α ≠A1			0
при µ→ −1 0 , будем иметь	( ) = c j		Re c j < 0 ( j = 1,…, n)
lim z j	( ) = c j	,	Re c j < 0 ( j = 1,…, n)		.	(6.57)
µ→ −1 0		,			.	(6.57)

Поскольку на основании формул (6.52) и (6.54) при µ=1 имеем

Ф1 (z) = α 2 z2 f (z) ,

151

то cj ( j = 1,…, n) являются корнями многочлена f (z) и, следовательно,

f (z) Hn .

Замечание. Если

F (z) = A0 + A1z + …+ An+1z n+1

есть стандартный полином степени n + 1, причем A0 > 0 и A1 > 0 , то на

основании формул (6.52) и (6.53) получаем, что существует стандартный полином f (z) степени n такой, что

Sf (z) = F (z) .

Из лемм 1 и 2 следует, что множество всех стандартных полиномов Гурвица H можно построить, исходя из совокупности стандартных полиномов H1 первой степени и последовательного применения операции присоединения S . А именно:

H2 = SH1,

H 3 = SH 2 = S 2 H1 ,

. . . . . . . . . . .

				H = ∞			S p H1.
						p =0
Рассмотрим стандартный полином
где a0 > 0 , an ≠ 0 (n ≥			f ( z) = a0 + a1 z + …+ an z n ,								(6.58)
где a0 > 0 , an ≠ 0 (n ≥	1) .
Составим (n × n)-матрицу Гурвица
			a1	a0			0	0	0
			a	a	2		a	a	0
M f	=		3		2		1	0		,	(6.59)
M f	=									,	(6.59)

				a2n−2		a2n−3		a2n−4
		a2n−1		a2n−2		a2n−3		a2n−4	an

где принято as = 0 при s < 0 и s > n .

Теорема Гурвица. Для того чтобы стандартный полином (6.58) являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры

∆	=	a >		0,
	1	1
			a1	a0
∆	=		a1	a0	>	0,
	2		a3	a2		(6.60)
			a3	a2		(6.60)

	=	a∆		>
∆	=	a∆		>		0
	n		n	n−1

его матрицы Гурвица M f (условие Гурвица).

152

Доказательство. Необходимость.

Покажем, что если f (z) Hn , то условия Гурвица (6.60) выполнены.

Для доказательства применим метод математической индукции. При n =1 имеем

f (z) = a0 + a1z ,

причем, если f (z) H	, то	a > 0	и a ≠ 0	. Поскольку корень	z	= −	a0	< 0 , то

1		0	1		1		a1
условие Гурвица
			∆ 1= a1> 0
выполнено.
				f (z) Hn теорема справедлива и
Пусть теперь для всех полиномов

F(z) Hn+1 . На основании леммы 2 полином F ( z) можно рассматривать как

присоединенный для некоторого стандартного полинома f (z)				Hn , т.е.
F (z) = (1 + 2cz) f (z) + f (−z) ,				(6.61)
где
α = 2c>	0 .
Положим
f ( z) = a0 + a1 z + …+ an z n ,
где
a0 > 0 , a1 > 0 , …,an > 0;
тогда
n+1	1 + (−1)	k
F (z) = 2∑[cak −1 +	1 + (−1)		ak ]zk ,
F (z) = 2∑[cak −1 +	2		ak ]zk ,
k =0	2

где ak−1 = an+1 = 0.

Составляя главный диагональный минор k-го порядка матрицы Гурвица полинома F ( z) , будем иметь

и			D1 = 2ca0 > 0
и
		ca0	a0	0	0
		ca0	a0	0	0
D	= 2k +1	ca2	ca1 + a2	ca0	a0
D	= 2k +1
k +1
		ca2k	ca2k −1 + a2k	ca2k −2	ca2k −3 + a2k−2
			(k = 1,…, n) .

Отсюда, вынося за знак определителя общие множители с элементов нечетных столбцов (первого, третьего и т.д.), а затем вычитая из элементов четных столбцов (второго, четвертого и т.д.) соответствующие оставшиеся

153

элементы нечетных и вынося за знак определителя общие множители c преобразованных элементов четных столбцов, находим

		a0	0	0	0
D	= 2k +1 ck +1	a2	a1	a0	0	= α k +1a∆
D	= 2k +1 ck +1					= α k +1a∆
k +1							0 k
		a2k	a2k −1	a2k −2	a2k −3
			(k = 1,…, n) ,
где ∆ k – главные диагональные миноры матрицы Гурвица M f							полинома f (z).
Поскольку для полинома			f (z)	Hn согласно индукционному предполо-
жению выполнены условия Гурвица, то
		∆ k> 0 (k = 1,…, n) .
Поэтому, учитывая, что a0 > 0 , имеем
		Dk+1 > 0 (k = 0,1,…, n) ,
что и требовалось доказать.
Достаточность.							f (z) выполнены
Покажем, что если для			стандартного полинома				f (z) выполнены

условия Гурвица, то f (z) Hn .

Для n =1 теорема, очевидно, справедлива, так как если

f (z) = a0 + a1z ,

где a0 > 0 и ∆ 1= a1> 0 , то корень полинома

z1 = − a0 < 0 . a1

Пусть теперь теорема верна для всех полиномов f (z) Hn и

F (z) = A0 + A1z + …+ An+1z n+1

является некоторым стандартным полиномом степени n +1, для которого выполнены условия Гурвица:

A0 > 0, D1 = A1 > 0 , …, Dn+1 > 0.

В силу замечания к лемме 2 этот полином можно рассматривать как присоединенный к некоторому стандартному полиному

f ( z) = a0 + a1 z + …+ an z n

a0 > 0 и a1 ≠ 0 степени n. Так же как и при доказательстве первой части теоремы, получаем, что главные диагональные миноры ∆ k матрицы Гурвица Mf удовлетворяют соотношениям

D	= α	k +1a∆ > 0 (k = 1,…, n),
k +1		0 k

где α > 0 . Отсюда

∆ k> 0 (k = 1,…, n),

154

т.е. для полинома f (z) выполнены условия Гурвица. А поскольку по предположению теорема верна для всех стандартных полиномов степени n,

то f (z) Hn .	Таким образом, полином	F ( z) является присоединенным
к стандартному	полиному Гурвица f (z) ,	и, следовательно, на основании
леммы 1 имеем

F(z) Hn+1 .

Теорема доказана полностью.

Замечание 1. Если

f ( z) = a0 + a1 z + …+ an z n				(6.62)
есть стандартный полином Гурвица, то имеем
f (z) = z	n	1
		g	,

		z

где

g ( z) = a0 z n + a1 z n−1 + …+ an

(6.63)

является также стандартным полиномом Гурвица,

и обратно.

– корни

Действительно, если z j

( j = 1,…, n)

полинома (6.62)

и Re z j < 0 ,

то

( j = 1,…, n) –

z j

Re z j

корни полинома

(20) и Re

< 0 (рис. 6.7).

z j

Поэтому условия Гурвица для полинома можно

Рис. 6.7

записывать также в виде

		∆ 0=		an>		0,
		∆ 1=		an−1>		0,
		∆ 1=		an−1>		0,
			a		a

	3=						> 0,
∆	3=		n−1		n		> 0,
			an−3		an−2

	∆	n= a∆			>	0
	∆	n= a∆			>	0
				0	n−1
				0	n−1


Замечание 2. Пусть
	d x
	d x	= Ax	(6.65)
		= Ax	(6.65)
	dt

есть линейная однородная система с постоянной действительной матрицей

A = [a jk ] и
det(λ E− A)= 0	(6.66)

155

является её характеристическим уравнением. В раскрытом виде уравнение (6.66) имеет вид

λ	n	− Aλ1	+ Aλ2	+ …+ −( 1)	n	A=n 0,
	n		n−1	n−2	n

где
A1 = ∑aαα		= SpA,
α
A2 = ∑	a	a
	a	a
	αα	α β	,
α<β	a	a
α<β	β α	ββ

. . . . . . . . . . . . . .

An = det A.

Для асимптотической устойчивости системы (6.65) необходимо выполнение следующих условий:

−A1 > 0 , A2 > 0 , …, (−1)n An > 0 .

Вчастности, должно быть

SpA < 0 , (1−)n det A > 0 .

(6.67)

Если система (6.65) – второго порядка n = 2 , то условия (6.67) также достаточны для её асимптотической устойчивости.

В общем случае для асимптотической устойчивости системы (6.65) необходимо и достаточно выполнение условий Гурвица:

∆ 1= − A1>				0,
∆	2=		−A1	1				= − A1 A2+ A3> 0,
			−A1	1
			−A3	A2
....
∆ n= −( 1)n A∆							> 0.
Пример 5. Для полинома				n				n−1
Пример 5. Для полинома
		f (z) = z3 + pz2 + qz + r,
где p, r, q действительны, условия Гурвица есть
							r > 0,
				∆		= q> 0,
					1
							q		r

				2=						>
			∆	2=			1		p	>	0,
							1		p
				=			1*∆		>
			∆	=			1*∆		>		0,
т.е.				3					2
т.е.			q > 0,				0 < r < pq.
			q > 0,				0 < r < pq.
Таким образом,	в пространстве										коэффициентов область 0pqr

полиномов Гурвица ограничена положительной частью координатной плоскости r = 0 и гиперболическим параболоидом r = pq (рис. 6.8).

156

Рис. 6.8

Рис. 6.9

Пример 6. Определить область асимптотической устойчивости для

системы

= −x

+ α y,

= β x

− y + α z,

= β y− z,

(6.68)

где α и β – действительные параметры.

Характеристическое уравнение для системы (6.68) имеет вид

λ + 1

−α

−β

λ + 1

−α

−β

λ +

или

+ λ2+

−(1 α 2 β )] = 0 .

(λ + 1)[λ

Отсюда λ 1= − 1, а по теореме Виета

+ λ

= −

−1

α2

β .

Следовательно, Reλ 2< 0 и

Reλ 3< 0,

если

1 – 2αβ > 0. Поэтому асимп-

тотическая устойчивость будет иметь место,

если 1 – 2αβ > 0, т.е. α β <

(рис. 6.9).

Критерий Михайлова

Если степень полинома f(z) сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В это случае для определения

157

расположения корней z1,…, zn полинома f(z) на комплексной плоскости

иногда оказывается более удобными геометрические признаки, эквивалентные критерию Гурвица. Мы здесь изложим один из них, так называемый частотный критерий А.В. Михайлова.

Пусть

f (z) = a0 + a1z +…+ an zn			.			(6.69)
	n	(n≥ 1), .	.			a ,		, a
есть стандартный полином степени		т е		коэффициенты		0	… n
действительны, a0 > 0 и an ≠ 0. Кривая
ω= f (ωi		),
где ω – действительный положительный параметр				(0≤ω≤+∞	) и i =			−1,

называется годографом Михайлова функции f (z).

Докажем одну лемму, из которой непосредственно следует принцип Михайлова.

Лемма. Пусть f (z) – стандартный полином степени n , не имеющий чисто мнимых корней. Тогда угол поворота против хода часовой стрелки

ненулевого вектора f (iω ) при (0≤ω≤+∞			)
Ф=	π	(n − 2m) ,		(6.70)

2

где m – число корней полинома f (z) с положительной вещественной частью (0 ≤ m≤ n), с учетом их кратностей.

Обратно, если справедлива формула (6.70), то на положительной полуплоскости Re z > 0 расположено точно m корней полинома f (z), где каждый корень считается столько раз, сколько составляет его кратность.

Доказательство.
1. Пусть стандартный полином	f (z) (6.69) степени n имеет всего	2p
комплексно-сопряженных корней α	j± iβ j ( j =1,…, p; α j≠ 0,β j > 0) и	q

действительных корней γ k (k =1,..., q; γ k ≠ 0) , где каждый корень считается столько раз, сколько составляет его кратность, т.е.

2p +q = n.

В частном случае, возможно p = 0 или q=0.

Разлагая полином f (z) на линейные множители и учитывая, что ввиду

действительности его коэффициентов комплексно-сопряженные множители могут быть попарно объединены, получим

158

f (z) = an ∏ (z − α j+ iβ j )(z − α j− iβ j )∏ (z − γ k ).

j=1

k=1

Отсюда

f (iω )=

an ∏ (ωi− α + j

iβ j )(iω− α

jiβ

j )∏ (iω−

γ k ).

(6.71)

j=1

k =1

Интересующий нас угол поворота вектора

f (iω ), очевидно, составляет

где ∆ Г

Ф = ∆

ГArgf (ωi

обозначает приращение соответствующей функции вдоль годографа

Михайлова Г , когда параметр ω

изменяется от 0 до +∞. Поскольку при

0 ≤ ω ≤ +∞

все множители произведения (6.71) ненулевые, в силу известных

теорем об аргументе произведения имеем

= ∆

Arga +

∆

[Arg(ω−i α +

iβ

) + Arg(iω−α −

iβ

)] +

∑

j=1

(6.72)

+∑∆ ГArg(ωi− γ

k ),

k=1

где под Argz понимается некоторая непрерывная ветвь многозначной

функции argz + 2kπ (k =0, ±1, ±2,…)

arg z

– главное значение

аргумента:

−π <

arg z≤ π

). Для определенности будем считать, что при ω = 0

аргументы

всех слагаемых формулы (6.72) равны их главным значениям.

Очевидно,

∆ ГArgan= 0.

Пусть

(6.73)

(0<ϕ <π ).

Тогда

Arg(iω− α

iβ j )

ω= 0

= arg(−α

iβ j ) = ϕ j

Arg(iω− α

−j

iβ j )

ω=

= arg(−α

j−

iβ j ) = arg

= −ϕ j .

(−α

j− iβ j )

Поэтому

{Arg(iω − α

iβ j ) + Arg(iω − α

−j

iβ j )}

ω= 0

= 0

( j =1,…, p).

(6.74)

Поскольку β

j > 0 , то при увеличении параметра

, как ясно из геометричес-

ких соображений, Arg(iω− α +j

iβ j ), оставаясь в пределах от 0 до π

, будет

монотонно возрастать, если α

и монотонно убывать, если α

0; при

этом

Arg(iω − α

iβ j )

ω=+∞

= lim arg(iω − α +j

iβ j ) =

ω→+∞

= lim [arg iω +

arg(1−

j−

iβ j

)]=

( j

=1,…, p)

(6.75)

iω

приα

j≠ 0.

ω→ +∞

159

Рассмотрим теперь поведение Arg(iω− α

−j

iβ

j ) при ω >

Если ω=

β j − 0 > 0, то получаем

Arg(iω − α

− β i

)

lim arg(−α −

εω

)

0 при α

приα

ω=β −j

ε→+∞

Если же

ω≥

β j

+0, то в силу свойства непрерывности Argz следует

положить

Arg(iω − α

−j

β i

=j )

arg(iω − α

−j

β i

j )

приα < j

− j

iβ

j ) приα

−2π + arg(ωi − α

Отсюда

при α

j< 0,

Arg(iω − α

−

β i

)

3π

(6.76)

ω=+∞

−

при α

Таким образом, из формул (6.75) и (6.76) находим

{Arg(iω − α

β i

+j )

Arg(ω −iα

− β j

j )}=

приα

ω=+∞

−π

приα

Следовательно,

∆ Г[Arg(ωi−α

+ j

iβ

j ) + Arg(iω−α

−j

iβ

j )] =

={Arg(iω− α +j

j )=}

ω=+∞

приα

β i +j )

Arg(ω−iα

− β j

( j

1,…, p).

ω=

−π

приα

(6.77)

= γ k

Пусть теперь zk

– ненулевой действительный корень полинома

f (z). Имеем

Arg(iω − γ

)

arg(−γ

0 приγ k

< 0,

приγ k

> 0,

ω=

Arg(iω−

)

ω=+∞

= lim arg(iω− γ

) =

Поэтому

ω→+∞

при γ k < 0,

∆ ГArg(ωi− γ

=j )

(=k

1, …, q).

(6.78)

−

, при γ k

> 0.

Из формул (6.77) и (6.78) вытекает, что каждый корень с отрицательной

вещественной

частью

стандартного

полинома

f (z)

обеспечивает при

0 ≤ ω ≤ +∞

поворот вектора f(iω)

в среднем на +

, а каждый корень этого

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.42 Mб0Общий курс путей сообщения..pdf
#
12.11.20232.04 Mб3Объектно-ориентированное программирование. ООП на языке C++.pdf
#
12.11.202316.61 Mб10Объектно-ориентированное программирование..pdf
#
19.11.202364.37 Mб0Объемно-пространственная композиция..pdf
#
19.11.202343.61 Mб0Объемные наноструктурные металлические материалы..pdf
#
12.11.20232.7 Mб1Обыкновенные дифференциальные уравнения..pdf
#
12.11.202314.47 Mб10Одноковшовые погрузчики..pdf
#
12.11.202319 Mб0Оказание первой помощи пострадавшим при несчастных случаях на производстве..pdf
#
12.11.20233.2 Mб7Оксидные композиционные материалы..pdf
#
12.11.202319.41 Mб0Они прошли дорогами войны Об участниках Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского политехнического института..pdf
#
13.11.202324.39 Mб9Они трудились во имя Победы О тружениках тыла в годы Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского государственного технического университета..pdf