книги / Теория определяющих соотношений. Общая теория
.pdf71
10. Группа равноправности
Очевидно, каждая частица с -окрестностью тривиально изоморфна самой себе. Однако для каждой отдельной частицы Х (или Х – модельного тела) может существовать и нетривиальный изоморфизм, т. е. могут суще-
ствовать отличные друг от друга отсчетные конфигурации K 1 и K 2 для рассматриваемой частицы, такие, для которых соотношение
F ((FT )t )
K1
F ((FT )t ) |
(45) |
K2
выполняется для любой невырожденной предыстории градиента деформа-
ции Ft (напомним, что F rT ). Поскольку в данном случае речь идет об одной и той же частице, обозначение частицы Х (или R0) исключено; предыстории деформации в левой и правой частях соотношения (45) одинаковы, но определяются по отношению к различным отсчетным конфигура-
циям ( K 1 и K 2 ).
Таким образом, согласно (45) реакция материала (напряжения) при одинаковых предысториях деформаций относительно двух различных конфигураций одной и той же частицы (с -окрестностью) будет одинаковой.
Например, для упруго-идеально-пластических материалов в качестве таких конфигураций могут быть использованы любые конфигурации после нагружения и полной разгрузки. Следует отметить, что здесь говорится о неотличимости конфигураций по реакции материала в макросмысле; при переходе на иной масштабный уровень (например, мезоили микроуровень) ситуация меняется: субструктура дефектов в сравниваемых конфигурациях может отличаться, однако эти отличия должны быть несущественными, чтобы поведение материала в макроэкспериментах было одинаковым.
Возникает вопрос о соответствии вводимого понятия с содержащимся в предыдущем разделе определением материального изоморфизма. В предыдущем определении устанавливался «пространственный изоморфизм», соответствие между различными частицами исследуемого тела. При этом частицы не различимы не только по реакции материала, но и «геометрически», т. е. не обладая никакой информацией о предшествую-
|
|
щих деформациях частиц Х1 и Х2, их конфигурации K 1 |
и K 2 нельзя разли- |
чить ни по взаиморасположению, ни по длинам материальных отрезков. Рассматриваемое в настоящем разделе соответствие (45) можно назвать изоморфизмом «по времени» (или «по параметру нагружения»). Здесь анализируется одна и та же частица в различных конфигурациях с неотли-
72
чимой реакцией материала. В то же время понятно, что геометрически эти конфигурации вполне различимы, одна получается из другой некоторым деформированием.
Таким образом, никакими макроэкспериментами по определению реакции материала вблизи точки Х тела B нельзя установить, из какой
конфигурации осуществляется деформирование — K 1 или K 2 . В этом
случае говорят, что конфигурации K 1 и K 2 равноправны в точке Х (по
отношению к реакции |
F ). |
|
|
|
K |
|
Предположим, что имеется некоторое множество отображений, пе- |
|
|
|
|
реводящих выбранную конфигурацию K в равноправные; обозначим это |
||
|
|
|
множество MF . Получаемая из K с помощью некоторого отображения из |
||
|
K |
|
|
|
|
MF |
конфигурация K |
совершенно неотличима от исходной конфигура- |
K |
|
|
|
|
|
ции K с точки зрения реакции материала. Воздействуя на конфигурацию |
||
|
|
|
K |
вновь оператором из множества MF , получаем конфигурацию K , |
|
|
|
K |
|
|
|
равноправную и K , и K . Иначе говоря, суперпозиция операторов из MF
K
есть оператор того же множества. Очевидно, что множеству MF принад-
|
|
|
|
|
|
K |
|
лежит “единичный” оператор. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если оператор |
A MF |
отображает А: K |
K |
(в равноправную |
|||
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конфигурацию), то существует и обратный оператор |
A 1: K |
K , |
и по |
||||
определению |
этот |
оператор |
принадлежит |
MF |
. Наконец, |
если |
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A,B,C MF , |
то A (B C(K)) |
(A B) (C(K)) , |
т.е. |
выполняется |
закон |
K
ассоциативности (знак й означает суперпозицию операторов). Показать последнее свойство нетрудно, учитывая, что отображения из множества MF представляют собой вектор–значные функции (аффинные преобразо-
K
|
|
вания) i векторных аргументов; например, : K |
K , (R0 ) R0 . С уче- |
том свойств множества отображений MF можно заключить, что это мно-
K
жество представляет собой группу относительно операции суперпози-
ции. Нетрудно увидеть, что свойство коммутативности не выполняется.
73
Группа MF называется группой равноправности материала по
K
отношению к K в точке Х, определяемой реакцией F . Иногда ее назы-
K
вают группой изотропии; однако следует иметь в виду, что речь не идет об изотропии материала (независимости реакции от ориентации материального объема по отношению к фиксированной в пространстве истории деформации, например), для анизотропных материалов также существуют группы равноправности.
Следует отметить, что обычно группой равноправности называют не
сами отображения |
i, а их градиенты; операции суперпозиции в этом слу- |
|||
чае соответствует операция скалярного произведения. |
|
|||
Рассмотрим |
подробнее |
указанное |
соответствие. |
Пусть |
1 : R R1, 2 : R1 |
R2 , 3 : R2 |
R3, 1( ), |
2 ( ), 3 ( ) MF . |
Согласно |
K
вышесказанному
|
o |
o |
o |
o |
3 ( 2 |
1(R)) |
3 ( 2 (R1)) |
3 (R2 ) R3 , |
|
|
o |
o |
o |
|
( 3 |
2 )( 1(R)) ( 3 2 )(R1)) R3 . |
|
В соответствие преобразованию с помощью вектор-значных функций ставится преобразование, осуществляемое с помощью градиентов i( ), определенных в соответствующих конфигурациях. Например, преоб-
o
разование конфигурации окрестности R в K в конфигурацию окрестно-
o
сти R2 в K 2 осуществляется следующим образом:
|
K |
|
|
|
|
o |
|
K |
|
|
o |
K1 |
|
|
|
o |
|
K o K1 |
o |
1 |
|
1 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
[( |
2 |
1 |
)(R)] |
|
|
|
( |
1 |
(R)) |
( |
2 |
( |
1 |
(R))) |
R1 |
R2 |
es e |
s |
e p e |
p |
|
es e |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
||||||||
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так что d R |
|
dξi e |
i |
преобразуется в d R2 |
dξi e |
i |
согласно соотношению |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
o |
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d R [( 2 |
1)(R)] d R2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
o |
|
|
es e |
|
|
|
es . |
|
|
Тождественный оператор в данном случае есть |
R |
|
E |
s |
e |
s |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
o |
|
|
|
Обратный |
оператор |
|
для преобразования, |
например, |
: |
R0 |
|
R1 |
есть |
||||||||||||||||||||||
K |
o |
|
K1 |
|
o |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
R1) 1 |
|
R |
es e |
s |
. |
|
Нетрудно показать ассоциативность указанных опе- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раторов (градиентов места). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Иначе говоря, |
градиенты преобразований |
MF |
(тензоры второго |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ранга) также образуют группу g |
|
по отношению к операции скалярного |
K
74 |
|
|
произведения; |
в дальнейшем именно g |
будет называться группой рав- |
|
K |
|
|
|
|
ноправности |
конфигурации K в |
точке Х (по отношению к |
ции F ). При этом равноправные конфигурации должны иметь одинако-
K
вую плотность (поскольку плотность часто входит в качестве независимого аргумента определяющего отображения, и в противном случае не представляется возможным осуществить одинаковую историю воздействий из равноправных конфигураций; кроме того, различие в плотности двух конфигураций легко устанавливается в макроэкспериментах). Следовательно, градиенты рассматриваемых преобразований должны иметь единичный по модулю определитель
|
|
|
|det |
| 1. |
(46) |
|
|
|
Таким образом, группа равноправности g |
конфигурации K в точке Х — |
|
|
K |
|
это подгруппа унимодулярной группы U: |
|
|
g |
U, |
(47) |
K |
|
|
состоящая из градиентов всех отображений, переводящих K в равноправ-
ные конфигурации. Обозначим элементы этой группы через H, H g ; H
K
— унимодулярные (имеющие единичный по модулю определитель) тензоры второго ранга.
|
|
o |
|
|
o |
o |
K1 |
|
|
Обозначим: λ : K1 |
K2; H = |
λ |
go . Учитывая соотношение (15), |
|
|
|
|
K |
|
из (45) следует |
|
|
|
|
|
F ((FT )t ) |
F (H (FT )t ) |
(48) |
|
|
K1 |
K1 |
|
|
для любой невырожденной предыстории (FT )t . Подобное соотношение
можно получить для F (с использованием градиента обратного преобра-
K2
зования H-1). Однако в данном случае конфигурации K1 , K2 равноправны с точки зрения определяющего отображения и их можно отождествить с
отсчетной конфигурацией K рассматриваемой группы равноправности
g . Следовательно, соотношение (48) может быть преобразовано к виду
K
F (H (FT )t ) |
F ((FT )t ), |
(49) |
K |
K |
|
или |
|
|
F (H rt ) |
F ( rt ) |
(50) |
K K
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rt = (FT )t и H g . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, элементы группы равноправности g |
представляют |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
собой такие унимодулярные тензоры H, что для любых невырожденных |
|||||||||||
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предысторий деформации |
rt |
справедливо (50), и наоборот, любой такой |
|||||||||
тензор H является элементом группы g . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
Вообще говоря, тензоры H |
g |
не являются ортогональными. Од- |
||||||||
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
нако поскольку g |
представляет собой (мультипликативную) группу, |
то |
|||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
g . В силу того, что E |
O , подгруппа ортогональных тензоров в g не |
|||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
пуста. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть некоторый ортогональный тензор O g , |
тогда в силу груп- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
повых свойств O 1 |
OT g . Предположим, что некоторый градиент мес- |
||||||||||
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
та |
r описывает невырожденную тензорную историю |
rt , откуда невы- |
|||||||||
|
|
|
o |
rt O . Заметим, |
|
|
|
|
|||
рожденной будет и история |
|
что в данном случае O |
g |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
представляет собой |
тензор |
(равно |
как и |
H |
g ), а |
не |
тензорзначную |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
функцию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая H = OT, из (50) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F (OT |
rt O) |
F ( |
rt |
O) . |
|
(51) |
|||
|
|
K |
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
В записи принципа независимости от системы отсчета (для определяющего отображения в Kt) можно положить Ot = O(t) = O = const, тогда получаем
F ( |
rt O) |
OT F ( rt ) O . |
(52) |
|
K |
|
K |
|
|
Заметим, что в отличие от (51), где O |
g , соотношение (52) спра- |
|||
|
|
|
K |
|
ведливо O O . Объединяя (51) и (52), получаем, что |
O g выполня- |
|||
|
|
|
|
K |
ется соотношение |
|
|
|
|
F (OT |
rt O) |
OT F ( |
rt ) O , |
(53) |
K |
|
K |
|
|
являющееся необходимым условием для принадлежности ортогональных элементов группе g . Проводя рассуждения в обратном порядке, можно
K
76
показать, что если O удовлетворяет (53), то O g . Следовательно, усло-
K
вие (53) является необходимым и достаточным условием принадлежности
ортогонального тензора O группе равноправности g .
K
Отметим, что условие (53) по виду совпадает с определением изотропных функций, однако в последнем O — произвольные элементы O ; в
данном же случае O g ; кроме того, здесь Fo – произвольный оператор,
K K
а не тензорзначная функция.
Очевидно, что оператор инверсии (тензор (-E)) принадлежит группе
g , что непосредственно следует из (53):
K
F (( E)T |
rt ( E)) F ( rt ) ( E)T F ( rt ) ( E). |
|
K |
K |
K |
Преобразование инверсии, очевидно, не отвечает никакой физически реализуемой деформации, однако с точки зрения формальной ничто не
препятствует |
введению –E в группу g . |
Тогда если H g , |
то |
|
|
|
K |
K |
|
H ( E) ( H) |
g . Следовательно, |
если в g |
выделить подгруппу |
g |
|
K |
K |
|
K |
физически реализуемых преображений с градиентами, определители кото-
рых равны (+1), то группу преобразований g можно представить прямым
K
произведением тривиальной группы (E,-E) на группу g :
|
|
K |
g (E, E) g . |
(54) |
|
K |
K |
|
|
|
Попутно показано, что наименьшая возможная группа равноправности есть (E, –E).
Вообще говоря, любая подгруппа унимодулярной группы может быть группой равноправности некоторого материала. Можно построить
бесконечное множество операторов реакции материала F , отвечающих
K
определенной произвольной подгруппе g .
K
Каждой конфигурации выделенной частицы (с малой окрестностью) в общем случае соответствуют, конечно, разные группы равноправности. Но поскольку речь идет об одной и той же материальной частице, то, естественно, возникает вопрос: а существует ли связь, соответствие групп равноправности по отношению к различным отсчетным конфигурациям (т.е.
не обязательно входящим в группу равноправности g отсчетной конфи-
K
гурации K ) для рассматриваемой произвольной частицы? Действительно, как и определяющее отображение F , группа равноправности g для вы-
K K
77
бранной материальной частицы в общем случае зависит от выбора отсчетной конфигурации. В то же время, поскольку речь идет об одном и том же материале, представляется физически оправданным предположение о на-
личии связи между группами равноправности g |
и g различных кон- |
K1 |
K2 |
фигураций K 1 и K 2 (в общем случае не входящих в одну группу равноправности рассматриваемой частицы). Попытаемся установить соответст-
вие между элементами групп равноправности g |
и g . |
||
|
|
K1 |
K2 |
|
|
|
|
K1 |
|
||
Пусть, как и ранее, p: K1 |
K 2 , P |
p ; при этом на P не наклады- |
вается требование унимодулярности, однако P является невырожденным
тензором. Несколько преобразуем соотношение (15), справедливое |
(FT )t , |
|||
|
o |
|
|
|
взяв в качестве (FT )t |
P 1 ( |
r)t (в силу невырожденности P невырожден- |
||
|
|
o |
|
|
ными являются P–1 и предыстория P 1 ( r)t ): |
|
|||
|
F ( |
rt ) F (P 1 |
rt ). |
(55) |
|
K1 |
K2 |
|
|
Заметим, что в силу невырожденности H1 |
g в последнем соотношении |
|||
|
|
|
K1 |
|
в качестве предыстории градиента места может быть использована пре-
|
o |
|
|
|
|
|
дыстория H |
rt , тогда |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
o |
|
|
|
F (H |
rt ) |
F (P 1 |
H |
rt ). |
(56) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
K1 |
|
K2 |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
В соответствии с (50) rt (невырожденных) и |
H |
g справедливо ра- |
||||
|
|
|
|
|
1 |
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
венство |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
o |
|
|
|
F (H |
rt ) F ( |
rt ). |
|
(57) |
|
|
K1 |
1 |
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя к левой части (57) соотношение (56), а к правой части (57) — выражение (55), получаем соотношение
|
|
o |
o |
F (P 1 |
H rt ) F (P 1 |
rt ) , |
|
K2 |
1 |
K2 |
|
|
|
o
справедливое для любой невырожденной предыстории rt . Преобразуя левую часть последнего соотношения, имеем
78
|
|
o |
o |
|
F [(P 1 H P) |
(P 1 |
rt )] F (P 1 |
rt ). |
(58) |
1 |
|
|
|
|
K2 |
|
K2 |
|
|
|
o |
|
|
|
В силу невырожденности P 1 |
rt данная предыстория может использо- |
ваться в (58) в качестве некоторой произвольной предыстории, которую в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дальнейшем будем обозначать как |
rt . Тогда из (58) |
получаем оконча- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
тельно, что для любой невырожденной предыстории |
rt |
и |
H |
g |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливо соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F [(P 1 |
H |
P) |
rt ] |
|
|
F ( |
rt ). |
|
|
|
|
(59) |
||||
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, |
что |
|
из унимодулярности |
|
|
|
H1 |
следует унимодуляр- |
|||||||||||||
ность H |
2 |
|
P 1 H |
1 |
P , и наоборот. Нетрудно видеть, что (59) с точностью |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
до обозначений соответствует (50). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом, |
исходя из (50) при K |
K 2 и |
H |
H2 |
g , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
o |
rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F [(P H |
2 |
P 1) |
rt ] |
|
|
F ( |
rt ), |
|
|
|
|
(60) |
||||
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где P H |
2 |
P 1 — унимодулярный тензор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, доказаны следующие утверждения: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
H |
|
g |
|
H |
2 |
P 1 |
H |
|
P |
g , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
K1 |
|
|
|
|
1 |
|
K2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(61) |
||
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
P 1 |
g |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
2 |
|
H |
P H |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где P — градиент преобразования K1 |
K 2 . Иначе говоря, между груп- |
|
пами равноправности g |
и g выбранной частицы Х (с малой окрест- |
|
K1 |
K2 |
|
|
|
|
ностью) в двух конфигурациях K 1 и K 2 существует взаимно-
однозначное соответствие вида (61).
Кроме того, отсюда следует, что существование группы равно-
правности и ее «мощность» есть факты, не зависящие от выбора отсчетной конфигурации.
|
|
|
|
В |
случае, |
если K 1 и |
K 2 — равноправные конфигурации (т.е. |
P,P 1 |
g , P,P 1 |
g ), их группы равноправности совпадают. |
K1 |
K2 |
79
Прокомментируем полученный результат (61). Пусть K 1 ,K 1 — равноправные конфигурации, получаемые с помощью преобразования
|
|
|
|
|
|
|
H1 |
g |
, H1: K 1 |
K 1 . При этом для любой предыстории деформации |
|||
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r t |
из этих конфигураций отклик материала, определяемый функциона- |
|||||
лом F |
, неотличим. Пусть некоторое деформирование, градиент которого |
|||||
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначается через P, переводит конфигурацию K 1 |
в K 2 , а K 1 |
— в K 2 . |
Тогда реакция материала, определяемая из новой отсчетной конфигурации
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K 2 |
(или K 2 ) функционалом F , на любую предысторию |
r t |
будет так- |
||||||
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
же неотличима по отношению к выбору конфигурации K 2 |
или K 2 . При |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этом конфигурация |
K 2 |
получается |
из K 2 преобразованием |
||||||
H |
2 |
P 1 H P (см. диаграмму). |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н1 |
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
o |
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
o |
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н2 |
|
|
|
|
|
Заметим, что если g |
{ E,E} (т.е. равноправные конфигурации в |
||||||
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
K 1 |
— только сама конфигурация K1 и полученная из нее инверсией), то в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K 2 |
группа равноправности также состоит только из E и (-E), g |
{ E,E}. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
Данное свойство следует непосредственно из (61). |
|
|
|||||||
|
|
Отметим, |
что |
g , |
g |
U, но на |
преобразование P ограничение |
||
|
|
|
|
K1 |
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
унимодулярности не накладывается, т.е. плотности в конфигурациях K 1 и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K 2 |
не обязательно должны совпадать. Интересно заметить, что если кон- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фигурация K 2 |
получается из K 1 всесторонним растяжением (сжатием), |
||||||||
т.е. P=kE, то g |
g , что непосредственно следует из (61). Иначе говоря, |
||||||||
|
|
K1 |
K2 |
|
|
|
|
|
группа равноправности не изменяется при объемном расширении или сжатии. Заметим, что, несмотря на совпадение групп равноправности, в
80
|
|
этом случае нельзя говорить о том, что конфигурации K 1 |
и K 2 равно- |
правны (при k 1), поскольку они легко отличимы друг от друга (хотя бы за счет различия в плотностях).
Из результатов, полученных выше, следует, что при произвольном
выборе «второй отсчетной конфигурации» K 2 группа равноправности в общем случае изменяется, т.е. равноправность (в точном смысле элементов группы g ) зависит от выбора отсчетной конфигурации.
K |
|
|
Однако возможны ситуации, когда g |
g |
g при любом выборе |
K1 |
K2 |
|
отсчетной конфигурации. В этом случае материал называется эгалитарным. Никакая деформация не может уменьшить или расширить эту группу или изменить ее. Согласно (61) группа равноправности эгалитарного материала должна удовлетворять уравнению (в символической форме)
P g = P–1( g ) P. |
(62) |
Из теории групп известно, что уравнение (62) не имеет других решений g , кроме так называемых тривиальных; под последними понимается или унимодулярная группа, g = U, или g = {E, –E}.
Одним из простых примеров эгалитарного материала являются тела с наименьшей группой равноправности. К таким относятся, например,
твердые, |
так называемые триклинные материалы, группой равноправно- |
|
сти которых является {E, –E}. Нетрудно увидеть, |
что в этом случае |
|
P g |
g = {E, –E}. |
|
K1 |
K2 |
|
Другим предельным случаем являются материалы, имеющие самый |
||
широкий |
класс равноправности, т.е. g U. Ниже |
будут рассмотрены |
|
K |
|
жидкости, являющиеся эгалитарными материалами, группой равноправности которых является унимодулярная группа U.
Вопросы для самопроверки
1.Приведите и объясните с физических позиций определение равноправных конфигураций. Каким условиям должны удовлетворять такие конфигурации?
2.Воспользовавшись векторным представлением преобразования конфигураций, покажите, что преобразования равноправных конфигураций образуют группу.