книги / Обработка и представление результатов эксперимента

искать вероятность P(to) того, что единичный результат будет лежать в преде­ лах X - to < х £ X + /а, где t - любое положительное число Тогда после ана­ логичных преобразований получим

Это стандартный интеграл математической физики, который называется

интегралом {функцией) ошибок и обозначается как erf (Г). Его нельзя

вычислить аналитически, но он протабулирован. Некоторые значения P{ta)

представлены ниже:

параграфа.

Для результатов измерений, которые распределены нормально, вводится еще одно понятие - вероятная ошибка: P(ta) = 50 % при значении t = 0,674.

3.5.Распределение Стыодента

Вфизическом практикуме число измерений ограничено (п « 10). Принята следующая терминология. Интервал х - А х < х < х + А х , в который с опреде­

ленной вероятностью а попадает истинное значение X (или Хо\ называется до­

верительным интервалом, а вероятность а называется доверительной

вероятностью, или надежностью.

При недостаточно большом числе измерений распределение случайных величин имеет несколько иной, отличный от Гауссовского, характер. В этом

среднеквадратичная погрешность всей серии измерений.

Распределение Стыодента было введено в 1908 г. английским математи­ ком и химиком В.Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом

2 • А* = 2ta n • AS при малом числе измерений п должен быть шире, чем в слу­

чае нормального распределения. Например, в случае распределения Гаусса при

3.6. Обоснование среднего как нанлучшен оценки

Если результаты измерений описываются нормальным распределением f x , o ( x) и нам известны параметры Х и а, то вероятность получения результата

вблизи в малом интервале d x\, то есть от х\ до *i + dx\, есть (рис. 3.6)

dP(xО = f X,Q{x\)dxx = 1 е -(^ .-^ )2/ 2а 2

CTV2л

или

Р{хх) Л е- { * Х - Х ? №

а

Вероятность получения второго ре­

зультата *2 есть

Р(х2) * 1- е - ^ - Х)2/ 2° 2

G

и так далее. К сожалению, на практи­ ке обычно имеется конечное число N

измеренных значений какой-либо ве­ личины х и мы не знаем предельного распределения. Сейчас наша задача будет

состоять в том, чтобы найти наилучшие оценки для Х и ст, основываясь на этих имеющихся N измеренных х: JCI, *2, •••, хк то есть необходимо решить как бы обратную задачу.

Введем статистический принцип максимального правдоподобия. Веро­ ятность того, что мы сможем получить всю совокупность N независимых изме­ рений, равна произведению отдельных вероятностей для каждого отсчета Х\, JC2,

XN. (Вероятность одновременной реализации нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого события в отдельности.)

Ранее показали, что X = х , следовательно,

/=1 //

Полученная оценка сгширины предельного распределения - есть стан­ дартное отклонение N единичных измеренных значений: JCI, х2, ..., xN.

Наилучшая оценка (далее будет обоснована)

4. Погрешности в косвенных измерениях

Большинство физических величин невозможно измерить непосредствен­

но с помощью приборов, поэтому их определяют в два этапа:

1)измеряют величины, которые могут быть непосредственно измерены в экспериментах, то есть проводят прямые измерения;

2)с использованием результатов прямых измерений по формуле вычис­ ляют искомую косвенную величину.

Оценку погрешностей косвенных измерений также проводят в два этапа:

1)оценивают погрешности прямых измерений;

2)эти погрешности «распространяют» на погрешность рассчитываемой косвенной величины.

Наша задача состоит в том, чтобы определить правила расчета погрешно­ сти косвенного измерения q по известным погрешностям прямых измерений JC и

у.Пусть между величиной q, которую мы определяем, и переменными х и у

имеется функциональная зависимость: q = q(JC, у). Предполагаем, что на первом этапе работы измерены величины х и у, после чего подсчитаны соответствую­ щие погрешности Ах и Ду. Теперь, на втором этапе работы, необходимо вы­ числить наилучшую оценку величины q и определить, как Ах и Ау приводят к

Aq, то есть определить зависимость Aq = Aq(Ax\Ay) .

4.1. Первый способ. Непосредственные вычисления

Ре ш е н и е

1.Сумма . Вид функции: q = х+ у.

Чтобы оценить погрешности, достаточно определить их предельные зна­ чения, для чего необходимо учесть наибольшие и наименьшие значения, кото­ рые может принять функция q.

Максимальное значение функции q: qmax = х + у + (А* + Ау) . Минимальное значение функции q: q^ =х + у - (AJC+ Ay). Наилучшая оценка для q: q - х л - у .

Погрешность для функции q: Aq & (Ах + Ау). 2. Разность. Вид функции: q = х -у.

<?шах =*max “ Лшп = (х + А х ) - ( у - А у ) = х - у + (Ах + Ау). Ятп =*min - Ушах -г С* _ ^х) ~(У +Ау) - х - у - (Ах + Ау). q = x - y .

Aq « (Ах + Ау).

Как видим, в сумме и разности погрешность дается одной и той же фор­ мулой - как сумма погрешностей.

3. Произведение. Вид функции: q = х -у.

Погрешность произведения (и частного) наилучшим образом выражается

Так как относительные погрешности - малые числа (по сравнению со средними значениями), то их произведение - величина второго порядка мало­ сти, которой можно пренебречь. Тогда

Собираем <7тах и <7т ;п вместе:

q = x-y-[\±(£x +zy )].

Наилучшая оценка для q: q = х - у

Относительная погрешность: б^ = бх + .

4. Частное. Вид функции: q = х/у.

Яmax = -*max / .Уmin = х • (1 + Бх ) j у • (1 - Zy ).

*7min = -^min / .Углах = X • (1 —Бх )/>> • (1 + 6^,).

Воспользуемся известными формулами приближенного анализа:

тогда

Пример. Определение недоступной непосредственному измерению дли ны L (высоты большого дерева) при помощи измерений трех других длин: Ь\

Пример. Измерить-толщину одного листа книги. Пусть после измерений толщины 100 листов бумаги было получено D = (30±3) мм. гхли предполо­ жить, что все листы имеют примерно одинаковую толщину, то толщина одного листа d = D/ 100 =(0,30 ±0,03) мм. Чтобы непосредственно измерить толщину одного листа, потребовались бы достаточно точные приборы.

6. Возведение в степень. Вид функции: q = хп

Поскольку п - целое число, то переменная х умножается сама на себя п

Aq

поскольку производная может принимать и отрицательное значение, то общее правило такое.*

dq • AJC. dx

8. Функция нескольких переменных. Вид функции: q = q (х, у).

Обобщим предыдущий случай для функции двух переменных. Запишем

~~едг +