книги / Составление дифференциальных уравнений при решении технических задач

Математические методы все шире и шире проникают

в повседневную инженерную, деятельность. В приложениях математики к технике особое место занимают дифферен­ циальные уравнения.. 8 своей практической работе инже­ нер (конструктор, механик, технолог) часто сталкивает­ ся с необходимостью решения задач с переменными величи­ нами. В некоторых случаях удается воспользоваться го­ товыми расчетами и формулами. Довольно часто к решению

задачи ни один из известных расчетов не подходит и поэ­ тому перед инженером возникает необходимость самостоя­ тельного составления дифференциального уравнения. Са­ мостоятельно составленное уравнение позволяет проанали­ зировать подобие рассматриваемой задачи уже известным решениям. Составление дифференциального уравнения связа­ но с глубоким анализом физического содержания задачи и, конечно, в результате более вероятным становится пра­ вильное решение поставленного вопроса. 8 противном слу­ чае приходится поступать интуитивно. Успех решения зада-*

чи в этом случае зависит от опыта и характера исследо­ вателя и потому связан с большим риском. Отсюда ясно, как важно научиться составлять математическое описание технической задачи.

3 настоящем пособии, предназначенном для студентов

ноотей горного и механического факультетов. Кратко рас­ смотрена методика составления дифференциальных уравне­ ний с чаотными производными.

В конце пособия помещены задачи, предназначенные для самостоятельного решения с целью приобретения на­ выков в составлении дифференциальных уравнений.

§ 1. овш положения ?/■.'ГОДИКИ COCTABJEHMH и

РШ ЧИЯ ДИЖРЕНЦИАЛЬННХ УРАВНЕНИЙ В

ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

\1оставление дифференциального уравнения по уоловию технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их прираще­ ниями.

Любой процесс, характеризующийся переменными величи­ нами, представляет собой совокупность состояний! каждое из которых определяется постоянными величинами* В свяви с этим решение задачи с переменными величинами сводится:

-к определению отдельных моментов, элементарных актов процесса;

-к установлению общего закона развития процесса* Поясним подробнее сказанное. Отдельный момент или , ина­ че говоря, элементарный акт процесса - ето процесс, про­

текающий за малый промежуток времени, а в общем случае в течение малого приращения аргумента. Под термином.ма­

лый промежуток времени понимается такое время, в течение которого можно допустить линейный или иной известный характер изменения функции (например, пропорциональность скорости охлаждения тела разности температур тела и ох­ лаждающей среды, скорость движения пройденному расстоя­ нию). Продолжительность малого промежутка определяется возможностью использования фундаментального закона физики для написания соотношения между приращениями и перемен­ ными величинами. Например, составляя материальный ба­ ланс в элементарном объеме газа жидкости и твердого тела

пользуются законами сохранения вещества и энергии.

Составив соотношение мезду переменными величинами

и их приращениями для элементарного акта процесса .пе­

реходят к дифференциальному уравнению устремляя прираще­ ние аргумента к нулю. Несмотря на то, что при анализе элементарного акта процесса используется вышеуказанный упрощенный подход , в результате интегрирования полу­ чается закон изменения переменных в данной задаче .иног­ да сравнительно слопсный. Таким образом,интегрирование составленных уравнений позволяет, объединив совокупность элементарных актов процесса, подучить зависимости, кото­ рым подчиняется данный процесс в целом*

Решение геометрических и физических задач обьяно

связано с необходимостью составления уравнений трех

нижеуказанных типов:

приращениями и переменными. Устремляя затем приращение аргумента к нулю, переходят к соотношению в дифференциа­ лах. Примером подобных задач, рассматриваемых в курсе

высшей математики, могут служить задачи определения давле

яидкости ния жидкости на пластину, работы на выкачивание*^ момен­

та инерции, центра тяжести тела и др.

Дифференциальные уравнения второго типа получаются,

когда из условия задачи известны данные о скорости про­

цесса или данные об угловом коэффициенте касательной ис­

геометрический и механический смысл определенного интег­

под знаком интеграла.

Таким образом, методика составления и решения диф­

ференциального уравнения в прикладных задачах сводится к следующему:

1 ) . Подробный разбор условий задачи и составление чер­ тежа ^возможно более полно отражающего условие.

2 ) . Составление соотношения меаду переменными и их при­ ращениями для элементарного акта процесса* 3 ) . Составление дифференциального уравнения рассматривае­ мого процесса.

4 ) . Интегрирование составленного дифференциального урав­ нения и определение общего решения.

5 ) . Исследование решения.

6 ) . Определение по мере надобности вспомогательных пара­

метров ( коэффициентов пропорциональности и др) на основе дополнительных условий задачи.

7 ) . Вывод закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин.

8 ) . Анализ ответа и проверка исходного положения задачи. "десь следует отметить," что умение составить диф­

ференциальное уравнение во многом зависит от навыка ре-

шащего и от понимания им физического содержания за­ дачи. Последнее позволяет в ряде случаев сделать до­ пустимые упрощения полученных уравнений с тем, чтобы пренебрегая второстепенным определить основную законо­ мерность.

S 2. ЗАДАЧИ. РЕПЕНИЕ КОТОРЫХ СВЯЗАНО С СОСТАВЛЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

2 .1 .Уравнения с разделяющимися переменными.

Задача 1 Температура торфяного брикета, вышедшего иэ пресса в течение 10 мин. понижается со100°С до 40°С. Температура окружающего воэдуха равна 20°С. Через сколько минут от начала охлаждения температура брикета П0НИ8ИТСЯ до 254).

Решение : Рассматривая элемен­ тарный акт процес­ са, воспользуемся законом Ньютона, сог­ ласно которому ско­ рость охлаждения тела пропорциональна раз~

ности температур те* да и окружающей среды. С изменением разности темпера­ тур меняется также и скорость охлаждения тела.

Скорость охлаждения тела выражается производной температуры по времени. Следовательно, диф^epeнциaльнoe уравнение охлаждения брикета имеет вид:

T Ï = i ( T - r' ) ,

Величину коэффициента пропорциональности найдем ив до­

Следовательно, закон охлаждения торфяного брикета для

условии задачи имеет ввд n-Qf39t

Таким образом, для решения простейших задач по охлавдению различных тел достаточно знать начальную температуру тела, р также его температуру через определенный проме­ жуток времени и температуру окружающей среды.