книги / Прикладная теория ползучести грунтов

для чистого сдвига такой

Gots

(2 . 2 . 11)

X ------------ т

t s+GoT

Аналогично записывается ф(е) для растяжения (сжатия)

EoGs

(2 .2 .12)

б ------------- с

6g+Eo£

ветственно. Механический смысл хя и б3 можно установить

следующим

образом.

Разделив

числитель

и

знаменатель

(2.2.11)

на т,

а

(2 . 2 . 12)

на

е*

получим

t

Go*tg

б

EoGs

------------- ;

--------------

Ts/r+Go

бд/е+Ео

Примем,

что

в

первом выражении г-*»,

а во втором е-*»,

тогда найдем

X

Т д

,

б

б д

(г ~ )

(£-•<»)

Следовательно,

xs

и

б3 -

это

предельное

значение напряжения

(предел

текучести)

при сдвиге

и при растяжении (сжатии) соответс­

твенно. Из

приведенных

выше

рассуждений

можно заключить,

что

константы в выражениях (2 . 2 . 11)

и

(2 . 2. 12)

имеют

механический

смысл.

Если ф(т)

или ф(е)

подставить

в уравнения наследственной

ползучести,,

то можно получить

прикладные уравнения

ползучести и

релаксации для сдвига или для

растяжения.

Вид функций

(2.2.11) и

(2.2.12) Идентичен,

поэтому все рассуждения и уравнения,

получен­

ные для одной из них,

сохранятся

и для

другой.

Связь, напряжений

о деформациями

(2.2.1)

с функцией

(2.2.11)

имеет вйд

t ( t ) -

T(t)

-

р

r(v)

(2.12.13)

Gotg Г—

---------- R(t-v)dv

Xa+GoT(t)

£

tg+GoT(v)

- 42

-

T ( t ) ---- 80X8

r[l-jR (t-v )t(v )d v ]

(2.2.14)

ts+GoY

'

Q

'

Разделим числитель

и знаменатель

в правой части на t s

и запишем

(2.2.14) так

t ( t )

-

Got

■(l-jR(t-v)dv)

l+G^T/tg

Отсюда при tg-*® имеем линейное уравнение релаксации

t

t ( t )

-

Q or(l-jR (t-v)dvj

(2.2.15)

а при t -О следует

выражение

закона Гука t-Goir. Введем в уравнение

(2.2.14) следующее обозначение

t s r

Т о --------

tg+GoT

t

t ( t ) -

ToGo[l-jR(t-v)dvj

(2.2.16)

00

G(«) - Go^l-jR(0)d0j

(2.2.17)

Это выражение аналогично, приведенным ранее (2.1.13)

и

(2 .2 .6 ).

Для описания

процесса

ползучести необходимо

в

уравнение

(2.2.7) подставить

выражение

(2.2.11)

-

43 -

Gpta

t

r ( t)

-

t(t)+ jK (t-v )d v

(2.2.18)

ts+GoT(tj

о

Если процесс ползучести происходит при постоянном напряжении х,

то из (2.2.18) следует

Xs

r ( t ) -

t/Go (l+Jk(t-v)dvj

(2.2.19)

'Ca+G0r ( t)

ИЛИ

T(t)

(2 .2 .19')

- t/G o(l+jK (t-v)dvj

l+Go/tsr ( t)

Из выражения

(2.2.19)

при tg-*» получим уравнение ползучести ли­

нейное относительно напряжения

.

t

T(t) -

T/Go[l+jK(t-v)dvj

(2.2.20)

О

а при t -О следует закон

Гука r-t/G o.

t

Введем обозначение

H (t)-l+jK (t-v)dv

о

и после

решения (2.2.19) относительно

т, найдем

t n ( t ) t s

( 2 . 2 . 21)

r ( t) -

GQ(*ts”*cn(t)

Отсюда,

зная

значения

Go#Ts *n(t),

можно вычислить деформацию в

любой момент времени о учетом нелинейных свойств грунтов.

Произведем замену

переменной х

на 9 - t - t в

уравнениях

(2.2.19) и

(2 . 2 . 20)

и после

преобразований найдем

выражение для

длительного модуля сдвига

00

0(00)

Go £l+jK(t-v)dv j-1

(2.2.22)

S (t)

- SH4 B

(3.1.1)

S (t)

- S(» ) ( l- e _ t/T )

(3.1.Z)

здесь S осадка для любого текущего времени t ,

a SH* ,S (» ),0 и Т,

некоторые параметры аппроксимации.

В формулах (3.1.1)

и (3 .1 .2) начальной

осадкой So

пренебре­

гают, поскольку данных

о начальной осадке

нет.

Если в

выражениях

- .45

-

(3.1.1)

и (3 .1 .2) учесть

начальную осадку,

то они примут следую­

щий вид

SCt)

-

- в

(3.1.3)

SO+SH t

S (t)

-

So+S(«)(l-e"t/T )

(3.1.4)

Выражения

(3 .1 .il)- (3 .i.4 ) могут быть использованы

дляаппроксима­

ции только

частных экспериментов

и- их нельзя обобщить для

описа­

ния ползучести

при различных постоянных и

ступенчатых нагружени­

ях. Но успехи в

описании частных

случаев,

могут значительно уско­

рить, а затем и обосновать выбор обобщенного уравнения для описа­

ния

"веера"

деформации

(е)

ползучести или релаксации напряжений

(б)

во

всем диапазоне

дейотвия напряжений или деформаций.

Одним из наиболее распространенных уравнений

наследственной

ползучести,

является

следующее /1 ,4 /

t

?C e(t)]

-

*C6 (t)]+jK (t-v)*C 6 (v)]dv ,

(3.1.5)

о

здесь ф, ф и К некоторые функции,

подлежащие определению из

экспе­

риментов для конкретных

грунтов.

Часто для первоначального изучения свойств грунтов пользуют-*-

ся

упрощенным вариантом

(3 .1 .5 ),

а именно:

<p[e(t)3-e(t)

, 4 C6 ( t) ] - 6 (t)/E

e (t)

- — [6 (t)+ jK (t-v )6 (v)dv

(3.1.6)

здесь

E -

имеет смысл модуля деформации.

Для того, чтобы воспользоваться уравнением (3.1.6) необходи­

мо знать

функцию ползучести K (t-v). Для ее нахождения имеются ме­

тодики,

например,

в / 1/

и других,

но практически

используются

только

несколько функций,

от правильного выбора которых

зависит

достоверность

получаемых результатов

расчета. В качестве

первого

шага выбора

подходящей функции ползучести (K(t-v)

можно провести

-

40

-

лучшее совпадение с опытом даст

функция

(3 .1 .1) или

(3 .1 .3 ),

то

ядро K(t-v) следует выбрать

в

виде функции с особенностью,

напри­

мер,

K(t-v) -

А

(3.1.7)

A (l-A )/(t-v )

здесь А и Л -

параметры ядра

К.

Экспоненциальному ядру

ползучести

-A (t-v)

(3.1.8)

K(t-v) - ААа

следует

отдать

предпочтение

(при

удовлетворительном

совпадении

экспериментальных., и

расчетных

результатов) формулам

(3 .1 .2)

или

(3 .1 .4 ).

Из уравнения (3 .1 .6)

с

ядром ползучести (3 .1 .8) при пос­

тоянном напряжении 6

найдем

-At

)

e(t) - e0+Ai(l-e

где е0 - начальная деформация, a Ai- б/ЕА.

Этот результат

с точностью

до обозначений совпадает

о формулой

(3 .1 .4 ),

а при Ео^О с

формулой

(3 .1 .2 ).

Таким образом,

из

уравнения

(3.1.6)

всегда можно получить

практически приемлемые эмпирические зависимости для описания

де­

формаций грунтов

и оснований при малых напряжениях.

На методике

определения констант здесь нет необходимости останавливаться,

так

как она достаточно полно описана в

работе / 3/ .

Возможности уравнения

(3 .1 .6)

можно расширить,

если

вместо

простых

ядер ползучести

(3 .1 .7)

и

(3 .1 .8 ),

использовать их

комби­

нации или ввести дополнительные

константы. Очевидно, что если по­

являются

новые

константы,

то

нужны дополнительные опыты для их

определения для

конкретного

грунта.

Такие дополнительные эксперименты,

Как правило либо отсутс­

твуют, либо нет соответствующего оборудования для проведения

но­

вых опытов. Поэтому С.С.Вялов

пишет "само решение задач резко

ус­

ложняется, что

ограничивает

практическое

использование

этих

ядер"

6 (t)

1

л

K (t-v,v)6 (v)dv

,

(3.1.13)

e ( t ) -----------+ ------

£

Ео

Ео

а именно:

• (t> -

(3.1.14)

Сопоставление и анализ деформаций (3.1.12)

и

(3 .1 .1 4 ),

позволяет

сделать заключение о том, что возможности уравнения

(3.1.14)

зна­

чительно шире,

чем у формулы

(3 .1 .12).

Например,

при t-*» получим

соответственно

е(«>)-е0 (1+А)

и в(®)-е0 (1+2А).

Здесь

е0 начальная

деформация,

равная б/Е.

Если для описания

свойств

грунта

используется

нелинейная

связь напряжений и деформациями,

например,

(2 . 2 . 12),

то

в уравне­

ние (3.1.5)

нужно подставить

Еоб3

и ф(б)-б

Ф(е)------------ е

6s+Eo£

Тогда вместо

(3.1.6)

получим следующее нелинейное уравнение

Ербд

t

e (t) -

6 (t)+ jK (t-v)6 (v)dv

(3.1.15)

6s+Eoe(t)

О

Видно, что это уравнение является более общим,

чем (3 .1 .6 ),

т.к .

является

нелинейным и содержит

кроме Ео

еще

одну

механическую

константу 6S.

При одночленном

ядре

ползучести

(3 .1 .8)

из

уравнения

(3.1.15)

при постоянном напряжении имеем

Еобя

- б

г

(

(3.1.16)

--------- е

1+А 1-е

6g+Eoe

L

'

/J

Отсюда получаем формулу для

вычисления деформации

t

6 (t) - E o(ie(t)-jR (t-v)e(v)dv).

(3.1.17)

о

t

6 (t) -

6c (l-jR (t-v)dv)

(3.1.18)

О

Подставим сюда резольвенту

ядра ползучести

(3 .1 .8 ),

которая из­

вестна и имеет следующий вид

R (t-v)

- A \expC -l(l+A )(t-v)]

В результате решения уравнения напряжение можно вычислить по фор­

муле

6 ( t )

г

1

/

1+ -A> ) (t

\ т

J J

6- 0 [ l

-

—

( l - e

3. 1. 19)

-A (l+A )(t-v)

-\(1+A)v

R (t-v,v) - АЛе

+А\

6 (t) - б0 [1

-

— [1-е

J J

(3.1.20)

Отсюда при

t -О* б(0)-бо, а

(

2А ч

при t-*»,6(»)-6o 1

--------.

*

1+А/

Возможности уравнения

(3.1.20) для учета релаксации гораздо

шире, чем у

выражения (3 .1 .19). Достаточно сказать, что

при t-*» в

случае двухчленного

ядра

можно получить релаксацию равную нулю.

Например, из 1-С2А/(1+А)]-0,

следует, что А-1. Это позволяет на­

ложить ограничения при поиске констант.

В заключение по П.п. 1 и 2 заметим, что

количественные и ка­

чественные результаты вычислений по формуле

(3.1.14) и

(3 .1 .20),

гораздо шире, чем у выражении

(3.1.12) и (3.1.19) при

том же чис­

ле констант

(А ,\).

При этом число физических опытов

и

методика

определения

А и

остаются

одинаковыми.

1

i

г

e ( t ) ------- [^6 (t)+ jK (t-v ,v )6 (v)dv+jK (t-v,v)6 (v)dv ,

(3.1.21)

где t i -

время

приложения

второй ступени

нагрузки.

При

одночленном ядре

ползучести

в виде (3 .1 .8)

деформация