книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов
..pdfуслов яи непрерывности перемещений и их первых проиэводныу по линиям контакта КЭ. Определенным недостатком полинома шестой степени С 1 .2 0 является отсутствие некоторых членов и отличие от однородного решения дифференциальною операто ра для изгибаемой пластины. Другим i эдост'-■ком полинома яв ляется его особенность, приводящая к несимметричному закону распределения деформаций в пределах элемента, факти» ски наделяющая элемент различной жесткостью в направлен'-ч коор динатных ооей. Отмеченные недостатки не обеспечивают сходи мости решения (табл .О » хотя выражения для вторых -производ ных, но не их значения, входящих в функционал, в узловых точках стремятся к истинным при стремлении сторон элемента к нулю.
Результаты решения на основе |
пол. .«ома Т.эт |
Таблица I |
|||
|
Свободно-опертая квадратнгч пластина |
|
|||
|
Е = 3*ГО5 кг/см2 , |
J4. = 0,25, |
|
||
Ч- я |
Ю кг/см2 , |
lv =. 10 см, |
= в = 200 см |
||
Точное решение: |
|
W = 2,437 |
см |
||
|
МКЭ |
с расчетной |
сеткой: |
|
|
4 x 4 |
|
W •= 2,583 |
см |
||
12 х |
12 |
|
V/ = 3,131 |
см |
|
20 х |
20 |
|
W - |
3,181 |
( 1 |
Приведенные примеры подчеркивают, что вопросы выбора форм перемещений не терпят подхода, основанного на формаль ном удовлетворении приведенных виде критфнев. ^обх^димо сохранять и математическую и физическую строгость при выбо ре аппроксимирующих полиномов.
§2. Метод |
та построения матриц жесткости |
|
"не совме стнвх"элементов |
|
|
На примере функционала |
|
|
|
3[w(x,y))«? |
|
=Цр(*>у . |
. Ч г » ч » . Чиг, Ч у у ) < м у |
(1,2Э> |
рассмотрим общепринятые и предлагаемый приемы нахождения к<ь аффициентов Матриц жесткости.
При традиционном подходе одной |
иэ ответственных опера - |
|
ций метода являв' эя выбор функции |
vO(x.Y), что подтверждает |
|
ся двумя примерами, рассмотренными выше. |
||
Дальнейшие операции при определении функционала (1.23) |
||
сводятся к сдедущш |
|
|
W(X,Y) |
~ |
----- -3 k (x .y )].(I.2 ^ > |
Поскольку я рассматриваемый функционал входят вторые производные, то для получения сходящегося решения, кроме вы полнения прочих уоловий сходшости, требуется добиться не прерывности производных до первой вклочнтельно. Это требова ние непрерывн ети основано, на необходимости дифференцирова ния искомой функции прежде чем мы придем к выспей про изводвой, входящей в (1 .2 3 ). На рис.4 отражена оитуация, когда разрыв непрерывности первой производной приводит к неопре - Деленюсти второй проиэродной в пределам смежных границ эле ментов.
Если при уменьшении сторон элемента этот разрыв не бу дет стремиться к нуле или конечному значение в случае сту -
пенчатого изменения жесткости по границе |
смежных |
элементов, |
||
то функционал |
3 [ W( X,Y)] |
не будет стремиться к |
своему ми |
|
нимальному значеню , а решение к точному. |
Положительной |
|||
особенностью |
полинома ( I . D) является то, |
что при двукрат - |
-ом дифференцировании он приводит к линейному характеру из менения вторых производных по границам элемента. А следова тельно, разрыв в значениях вторых производных по границе смежных элементов будет определяться разрывом этих производимх в угловых точках, где соблюдается условие непрерывности
|
Р » . 4 |
W |
|
|
|
||
первых производи», В ом у |
s to r e , |
при уменьшен*! второ i i |
? |
||||
ментов разрыв |
непрерывности |
вторых |
про*зво',т а ч- г э ю |
т |
« ? |
||
ках будет стремиться к нулю г тв к естествонаш у разрыву, |
|||||||
пускаемому физической сущностью задачи. |
|
|
|||||
А вго , в |
овоо очередь, |
приводит к аналог к ной свгуаи ш |
|||||
и по границе |
смежных элементов, |
что в |
итоге и оврвдвинет схо- |
||||
димость решен и , подученного на оаае |
ноииаома ( i.l3 > , |
ц>и |
|
||||
удовлетвора йи и других критериев |
аодмгеотв. Следует о ме - |
тигь большую сдшность получения оодиномов дня виагентов ир©~ идвоимой фор— , которые оркводкии бы после двукрвтыого д ф- фереацнрованвя к такой бдагопритвой ситуавии дик иееошестних моментов. Учитывая в*о. в дальвеввьм буя— от зреться бегать последовательного дыфферевцфоваввя иекемоВ функ^ин при оцредеженнк высиых производных, есин вгевтеа разрывы во»- прерывности н кэвв . То есть определять вь~вае вровзводвые
как бы "независчмо" от производных низшего порядка. Вернег-я к общеизвестной схеие я рассмотрим методику
построения матриц жесткости |
на примере решения задач устой |
чивости пластин, то есть на |
оонове функционала (1 .1 4 ). |
1, Упругую поверхность |
пластины аппроксимируют некото |
рым степенным полиномом, содержащим число неизвестных пара
метров, |
равное количеству узловых |
неизвестных для элемента. |
||
|
я ' |
я |
|
|
|
w(x-y)- |
V |
iTi |
|
|
1 Н |
~ > . |
|
( 1 -25) |
где |
лГ - порядок полинома. |
|
|
|
2 . Подчиняют.(1.25) |
уоловиям в узлах |
элемента |
||
|
" ( И Л И Я , |
|
, Ч У( З Д = Ч 5, |
|
|
w (x ay * ) - q 4 , w>t W z ) = < i S) % r( W .) = 4 e , |
|||
|
|
|
|
С 1.26) |
|
V/CW m )=4p.8,4 x C ^ V m )= q tLi , |
, |
m- количество узлов элемента;
п.- количество неизвестных для узла,
Р= т а
3, |
Определив cUj и з(1 .2 б ), представляют упругую.по |
|
верхность выражением |
|
|
|
Ч «Э Д Х ,г), |
(1.27) |
которое |
следует из (1 .2 7 ). |
|
4. |
Воспользовавшись (1 .2 7 ), пра: ую часть |
( 1 .14) пред |
ставляют в следующем виде |
|
9 = 1 ^ ^ ( К ж с + ^ Ч Л , |
С 1.28) |
г Э ^ ^ Э е . |
__ |
I J V |
а, Э€ |
|
, |
d*3lt 0 * 9 ,0 . . |
|
U xiy |
дкйУ |
|
2 |
^ у | |
“ |
*2 |
“0уч "7хТЗ;4х,1у. |
|
Й |
а„ , |
|
|
|
U .2 9 ) |
|
|
|
' * • • $ $ ♦ |
; 4 Н г * |
||||
|
• S t - S H f r - ^ - S r ^ » * ' - |
||||||
Коэффициенты (lC „ + t^ ) |
образуют матрицу жесткости рас |
||||||
сматриваемого |
элемента, |
используемую при исследовании ус |
|||||
тойчивости пластин. Такой путь |
поселения матриц кеоткоом |
||||||
является |
общепринятым в расчетной практике. Как уже отмеча |
лось, недостатком его является невозможность в ряде случаев удовлетворить воем условиям сходимости одн фемпнно при ес тественных условиях в уалас ь..емента.( Элементы с промежуточ ными узлами мы не рассматриваем в настояла пособии). Это удается выполнить для ряда элементов, если в состав узлов х неизвестных включаютоя параметры, соблюдение непрерывности которых не требуется исходя из физической сущпс :и задачи. Например, е ти дополнительно включить в состав неиэвест «
вторые производные w,41, w(tY , |
, Следует иметь |
в виду,, |
|
что при ступенчатом изменении толщины пластины |
эти |
параые.* |
|
ры терпят разрыв непрерывности и использование |
их в |
качест |
|
ве неизвестных монет прнвлоти к |
невеоныы резуль.аг ты расче |
||
та. |
|
|
|
Предлагаемый подлог построения матриц жесткости ’ ис
совместных" элементов заключается в раздельной аппроксима-
цнк фушшии |
и ее производных, |
входящие |
в функционал. |
То |
|||||||||
есть, |
при построении ыатрнг. жесткости |
на |
ооновании функцио |
||||||||||
нала (1 .23) |
принимаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
WCX.Y' * |
W1elC^V) + v</a9a (X.Y) + |
|
|
|
|
||||||||
w,xCX,Y) - |
Ч/Д> |
+ W, |
|
9,(X ,Y )v- |
|
|
|
||||||
|
CX.YJ = |
|
э 4 CX,Y) + v C |
% (x,y)+ • * |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
^Х»Э*(*.Т)+ W,g> Эа (Х,У)+ • |
|
|
|
|||||
|
Ц пО У Г )- |
< Y 9 * M + V 7 , ^ 9 8CX.V)+ |
- |
|
|
||||||||
|
Коаффициентами при функциях |
|
являются |
узловые зна |
|||||||||
чения |
прогиба, |
первое и ..горых |
производных от прогиба. При- |
||||||||||
ч м сами узловые параметры являются функциями узловых |
значе |
||||||||||||
ний прогиба |
и производных более низкого порядка. То есть, |
||||||||||||
|
W ,« “ |
|
|
|
* |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ! ;,.• |
), |
|
|
|
|
|
|
|
Ч*« |
= |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
C I.3I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ч я |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
-) |
|
|
|
В ряде |
случаев выражена |
для |
w,* |
, |
v0,y |
можно |
не |
|||||
расписывать |
черве |
узловые значения |
прогиба WL |
, |
|
а использовать |
непосредственно |
в виде |
( X .. 3Q ) . |
|
||
|
Таким образом, при разыскании экстремума функционала |
|||||
(1 .23J рассматриваются |
возможные линейные комбинации допус |
|||||
тимых функций вида |
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
( ы |
е , |
|
Так как Функции |
определены единственным обра |
||||
зом, |
то варьированию подлежат лишь узловые |
значения основ |
||||
ных |
неизвестных |
vv , \л£х , |
непрерывность котормс |
в |
||
узловых точках |
обеспечивается. |
|
|
|
Вданном случае можно провести аналогию между предлага емым приемом и идеей, заложенной в методе конечных слементов
Вначале прошлого века Павье сформулфовал общую задачу
расчета упругой конструкции как задачу определения перемеще ний во всех точках конструкций, то есть такого вектора м/(х.у,е), который удовлетворяет уравнениям теории упругости и граничным условиям. Правда, найти эту функцию оказалось неаросто. Для тел относительно простой Форш это научились-делать с помощью приближенных методов Ритца, Бубнова-Галеркина и ряда других. Однако, как тодысо иженеры пытались примерить их к более сложным телам, начинались неприятности. Решение нашли в отве те на вопрос: обязательно ли во всем объёме тела функция
v<r(x,y,«) должна иметь одно и то же аналитическое представ ление? Б 1ть макет, область, занимаемую телом, можно разбить на подобласти, в каждой из которых деформированное состояние является достаточно простым, а затем "сшить" из этих подоб ластей полную область? Эта простая идея, разделить тело и властвовать над отдельными областями, оказалась чрезвычайно плодотворной, она обогнала по эффективности многие глубокие и тонкие идеи.
То же самое используется н в предлагаемом приеме. Ап проксимировать деформированное состояние поэлементно. Но эле ментами в данном случае являются составляющие рассматриваемо го функционала.
В соответствии с этим сформулируем основные критерии сходимости, выполнение которых должно быть обязательна.
I . Координатные функции должны быть линейно независимы ми и оонованы на полном полиноме n. - а степени.
2 . Координатные функции для коыпонентов полного переме щение должны обеспечивать геометрически возможные перемеще ния в предел® всего елемента о сохранением условий непрерыв
ности оамнх функций по границам оо |
смежными элементами. |
|
3 . Координатные фунхции, характеризующие закон изменения |
||
Щ/-Й производной от |
искомой функции в пределах элемента, |
|
могут быть определены |
"независимо" |
от Форш, дающей распреде |
ление в предел® элемента ( m - D -й |
производной. Цэп этом дол |
|
жны быть выполнены следующие обязательные условия: |
||
а) координатные функции га -й |
производной от искомой |
функции должны отражать естественный характер дсформирования и стремиться к точному при уменьшении стЬрон элементов;
б) значения (П -й производной от искомой Функции в узло вых точках должны стремиться к точным при уменьшении размеров элемента;
в; пря узловых, перемещениях, отвечающие условию постоян ной деформаций, это состояние должно реализоваться в элемен - те;
г) |
при узловых |
перемещениях элемента, вызванных его |
сме |
|
щением как жесткого |
тела, не должна возникать деформация |
эле |
||
мента. |
|
|
|
|
Отмеченные условия оходимостк нике будут взяты за основу |
||||
поо1роения матриц жесткости различных'элементов пластин |
и |
|||
оболочех. |
|
|
|
|
Если внимательно проанализировать условия сходимости, |
||||
рассмотренные выше, то можно заметить, что выполняются |
вое |
|||
критерии, отвечающие совместности. А именно: |
|
|||
1. |
Функции |
w |
и З^/ах;. непрерывш вдоль контура |
|
элемента. Правда степень аппроксимации может быть не так |
вы |
|||
сока, но влияние |
такой аппроксимации на сходимость решения |
будет оценено на конкретные пр(мерах.
2. В*сине производные отвечают всем необходим требова ниям сходимости.
Независимая аппроксимация компонентов функционала позво ляет очень прост'* получать матрицы жесткости автоматически, се прибегая к явной Форме определения их .оэффициентов.
ПОСТРОЕНИЕ КОКЕЯНЬК АНАЛОГОВ ДИМЕРЕНЦИАЛЬНЖ
|
ОПЕРАТОРОВ |
|
1£>и реализации подхода, изложенного выше, необходимо по |
||
лучить |
выраления для производных |
в узловых "точках элемента. |
С этой |
целью рассмотрю область, |
покрытую сеткой,к выделю из |
нее элемент произвольной формы (рис. 5). |
Начало координат по |
местим в точку I . КОордиНмТНая плоскость |
Хоу совпадает о |
плоскостью элемента. |
|
Рио. 5
Вид элемента в данном случае не играет особой роли.Поэ
тому зависимости, полученные вике, будут справедливы |
для |
произвольного пг -угольника. |
|
Основой определения значений частных производных |
для |
произвольного узла елемента служит выражен» для производной сложной функции от нескольких переменных
|
|
|
ау ах ^ |
ау |
ау |
|
(1 .33) |
||
|
|
** |
й Г 7 ^ |
+ |
ау' а $ |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
эу ах |
. |
ау |
ау |
|
|
||
|
|
ЗУ |
|
( 1.Э4) |
|||||
|
|
И |
Зх |
дц |
|
ау |
eq, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У * |
У(х.у) |
|
|
|
||
|
|
Х -Х СЭД .) . |
у «*у (а д ) |
(1 .35) |
|||||
|
|
|
|||||||
аЧ |
№ ( i i A . рJ ! s J * J r . £ 2 ( 4 у ^ г т |
||||||||
|
|
Т х * ' в й ^ |
d x a y T t а ^ + |
аувмтгг^ |
С1*3б) |
||||
Полагая, |
что X |
и У |
является, независимыми функциями |
||||||
от ^ |
и ч , |
и'рассматривая |
элемент |
с |
прямолинейными сторо |
||||
нами контура, |
выражениям (1.33) |
и (1.36) |
можно придать след'* |
||||||
гщий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ау |
•а у Cosi. + 1 2 . sea j. |
(1.37) |
|||||
|
|
а * |
ах |
|
|
|
|
|
|
а2у |
|
|
Д2(о |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
d. - угол между направлением <*