Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математический анализ в задачах и упражнениях

..pdf

Скачиваний:

152

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

при x b 0 , то интеграл	b	f x dx	сходится при < 1 и рас-
	a
ходится при 1.
	b	dx
В частности, интеграл	a	dx	сходится при < 1 и рас-
В частности, интеграл	a	b x	сходится при < 1 и рас-
ходится при 1.					ln 1 5 x3
Из предыдущих рассуждений видно, что				f x	ln 1 5 x3
Из предыдущих рассуждений видно, что				f x	esin x 1
					esin x 1
является бесконечно большой порядка 2				< 1 по сравнению с
			5

1x . Следовательно, данный интеграл сходится.

111

elib.pstu.ru

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМАМ 4, 5

4. Определенный интеграл

Задание 1. Вычислить площади фигур, ограниченные линиями.

8cos

y x

2sin

3 t,

1.1. а)

б)

в)

2cos 2

2 x2

t 0

x 6cost,

y x

4x,

2sin t,

1.2. а)

б)

в)

3sin 6

x 4

x 4(t sin t),

4(1 cos t),

cos

1.3. а)

б)

в)

8, x 0

t 5

2cos

8cos

4 y x

3sin3 t,

1.4. а)

б)

в)

3cos 2

t 0

2 cost,

y x

2 sin t,

1.5. а)

б)

в)

2sin 2

8 x2

x 2(t sin t),

2 y x

2sin

1.6. а)

б)

y 2(1 cos t),

в)

t 4

3sin

112

elib.pstu.ru

1.7. а) y x2 2x, y x 2

1.8. а) y x2 4x, y x2 4x

1.9. а) x2 y3 ,

y 0, x 8

1.10. а) y x2 3x, y x 3

1.11. а) 3y x2 , y2 3x

1.12. а) y x2 x, y x 1

1.13. а) 5y x2 , y2 5x

			8cos		3		t,
	x		8cos				t,
			4sin3 t,
	y		4sin3 t,
б)
		t 0
	3
	x 4cost,
			2sin t,
б)	y		2sin t,
б)	2		t
	2		t
	3		3
	x 6(t sin t),
		6(1 cost),
б)	y	6(1 cost),
б)	t 5
	t 5
	3		3
		8cos		3		t,
	x	8cos				t,
		3sin3 t,
	y	3sin3 t,
б)
	t 0
	6
	x 9cost,
			8sin t,
б)	y		8sin t,
б)	5		t
	5		t
	6		6
	x 6(t sin t),
		6(1 cost),
б)	y	6(1 cost),
б)	2		t 4
	2		t 4
	3		3
		8cos		3		t,
	x	8cos				t,
		2sin3 t,
	y	2sin3 t,
б)

t 0 4

в)

2cos3

3sin 5

cos

3cos

3cos3

2sin 6

sin

2sin

2cos 4

113

elib.pstu.ru

1.14. а) y x2 5x, y x 5

1.15. а) y x2 ,

y 18 x2

1.16. а) y x2 x, y x 1

1.17. а) y x2 ,

y 50 x2

1.18. а) y x2 2x, y x 2

1.19. а) 7 y x2 , y2 7x

1.20. а) y x2 2x, y x 2

114

	x 2cost,
		4sin t,
б)	y	4sin t,
б)	2 t
	2 t
	3			3
	x 2(t sin t),
		2(1 cos t),
б)	y	2(1 cos t),
б)	t		5
	t		5
	3		3
						3	t,
	x 16cos						t,
		3sin3 t,
	y	3sin3 t,
б)
	t 0
	3
		3	2 cost,
	x	3	2 cost,
		2		2 sin t,
б)	y	2		2 sin t,
б)
	3	t
	4			6
	x 4(t sin t),
		4(1 cos t),
б)	y	4(1 cos t),
б)	2			4
	2	t		4
	3			3
					3	t,
	x 8cos					t,
		4sin3 t,
	y	4sin3 t,
б)
	t 0
	6
		4	2 cost,
	x	4	2 cost,
		3	2 sin t,
б)	y	3	2 sin t,
б)
	3	t
	4			4

в)

3sin 2

cos

4cos

3cos 4

2sin 3

sin

3sin

2cos5

3sin 3

elib.pstu.ru

1.21.а)

1.22.а)

1.23.а)

1.24.а)

1.25.а)

1.26.а)

1.27.а)

y x2 ,

y 32 x2

y x2 3x, y 3 x

y2 x3 , x 4

y x2 2x, y 2x x2

yx2 4x,

y4 x

x2 y3 ,

yx2 5x,

y5 x

	x 8(t sin t),
		8(1 cost),
б)	y	8(1 cost),
б)	t 5
	t 5
	3	3
		16cos	3	t,
	x	16cos		t,
		2sin3 t,
	y	2sin3 t,
б)
	t 0
	6
	x 6cost,

б)	y 4sin t,
б)	5 t
	5 t
	6	6
	x 10(t sin t),
		10(1 cost),
б)	y	10(1 cost),
б)	2	t 4
	2	t 4
	3	3

		8cos		3	t,
	x	8cos			t,
		4sin3 t,
	y	4sin3 t,
б)
	t 0
	4
			3 cost,
	x 4		3 cost,
			3 sin t,
	y		3 sin t,
б)
	2 t
	3		3
	x 10(t sin t),
		10(1 cost),
б)	y	10(1 cost),
б)	t		5
	t		5
	3		3

в)

2cos

4cos

3cos5

2sin 4

sin

4sin

2cos 6

3sin 4

2cos

3cos

115

elib.pstu.ru

8cos

y x

3sin3 t,

1.28. а)

в) 3cos 6

y 2

б)

t 0

x 4cost,

y 1 x2 arcsin x

y 4 x

1.29. а)

б)

y 6sin t,

в)

x 2 y 2

5 t

0 x 9

x 8(t sin t),

y x

8(1 cost),

2sin

1.30. а)

б)

в)

x y

2 0

t 4

4sin

Задание 2.

2.1. а)

y ln x, 3 x

Вычислить длины дуг кривых.

x 3(t sin t),

б) y 3(1 cost), 15

0 t

				3
в)	3e 4 ,
в)
		2						2
	y		x	2	ln x					,	x 3(2cost cos 2t),
2.2. а)			x
			4
			4					2			б) y 3(2sin t sin 2t),
	1 x 2										0 t 2
				4			,
	2e3						,
в)
		2						2
	y			1 x2					arcsin x,		x 4(cost t sin t),
2.3. а)						7
2.3. а)	0	x				7					б) y 4(sin t t cos t),
	0	x				9					0 t 2
						9					0 t 2
116

elib.pstu.ru

2e ,

в)

2 2

2.4. а)	y ln 5 x,
2.4. а)		2
	3 x				8
			5
	5e12			,
	5e12			,
в)
		2			2

yln cos x,

2.5.а) 0 x

6e 5 , в)

2 2

2.6. а)	y ex 6,
	ln 8	x ln 15

3e4 ,

в) 0

y 2 arcsin x

2.7. а) 1

4 x 1

4e3 , в) 0

x (t2 2)sin t 2t cost, б) y (2 t2 ) cost 2t sin t,

0 t

x 10cos3 t,

y 10sin3 t,

б)

0 t

x et (cost sin t), б) y et (cost sin t),

0 t

x x2 ,	x 3(t	sin t),
		cost),
	б) y 3(1	cost),

t 2

117

elib.pstu.ru

2.8. а) y ln(x2 1), 2 x 3

2e ,

в) 0

y 1 x2 arccos x,

2.9. а) 8 0 x 9

5e12 , в) 0

y ln(1 x2 ),

2.10. а) 1 0 x 4

12e 5 ,

в) 0

2.11. а) y 2 12 (ex e x ), 0 x 1

1 sin ,

в) 0

118

	x 1 cost 1 cos 2t,
			2		4
			2		4
б)			1	sin t	1	sin 2t,
б)	y		2	sin t	4	sin 2t,
			2		4
		t		2
	2			3

x 3(cost t sin t),

б) y 3(sin t t cost), 0 t

x (t2 2)sin t 2t cost,

y (2 t2 ) cost 2t sin t,

б)

0 t

x 6cos3 t,

y 6sin3 t,

б)

0 t

elib.pstu.ru

y1 ln cos x,

2.12.а) 0 x

2(1 cos ),

в)

2.13. а)	y ex	13,
	ln 15	x ln 24

3(1 sin ),

в) 0 6

y arccos		x	x x2 ,
2.14. а) 0 x	1
	4

4(1 sin ),

в) 0

2.15. а) y 2 ex ,

ln 3 x ln 8

5(1 cos ),

в) 0 3

y arcsin x		1 x2 ,
2.16. а) 0 x	15
	16

x et (cost sin t),

y et (cost sin t),

б)

x 2,5(t sin t), б) y 2,5(1 cost),

x 3,5(2cost cos 2t), б) y 3,5(2sin t sin 2t),

0 t

x 6(cost t sin t), б) y 6(sin t t cos t),

0 t

x et (cost sin t), б) y et (cost sin t),

0 t 2

119

elib.pstu.ru

6(1 sin ),

в)

y 1 ln sin x,

4(t sin t),

cos t),

2.17. а)

б)

y 4(1

7(1 sin ),

в)

2(2cos t cos 2t),

y 1 ln(x2

1),

2.18. а)

б)

y 2(2sin t sin 2t),

3 x 4

0 t

8(1 cos ),

в)

x x2

arccos

x 5,

x 8(cost t sin t),

8(sin t t cost),

2.19. а)

б)

x 1

0 t

2 ,

в) 0

4cos

y arccos x

1 x2

4sin3 t,

2.20. а) 0 x

б)

2 ,

в) 0

120

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.39 Mб36Математические модели элементов интегральной электроники..pdf
#
12.11.202314.5 Mб4Математические основы криптологии и криптографические методы и средства обеспечения информационной безопасности..pdf
#
12.11.2023865.71 Кб19Математические основы теории принятия решений..pdf
#
12.11.20231.41 Mб17Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
12.11.20234.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
12.11.20231.75 Mб152Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
12.11.20232.24 Mб4Математический анализ динамических моделей..pdf
#
12.11.202316.22 Mб11Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы..pdf
#
12.11.20233.27 Mб6Математическое моделирование авиационных двигателей..pdf
#
12.11.202314.31 Mб2Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику.pdf
#
20.11.202324.42 Mб3Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf