книги / Некоторые задачи спортивной биомеханики
..pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
О.Р. Ильялов, Н.С. Шабрыкина, В.А. Лохов, А.В. Сотин
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СПОРТИВНОЙ БИОМЕХАНИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2023
1
УДК 612.76: 796. 012 (075.8) ББК 75.0 Я 73
Н478
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук С.А. Федосеев (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);
канд. физ.-мат. наук Ю.В. Баяндин (Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь)
Некоторые задачи спортивной биомеханики : учеб. Н478 пособие / О.Р. Ильялов, Н.С. Шабрыкина, В.А. Лохов, А.В. Сотин. − Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.
ун-та, 2023. − 61 с.
ISBN 978-5-398-02855-3
Рассмотрены некоторые задачи биомеханики спорта. Детально рассматриваются уравнения движения спортивного мяча в сопротивляющейся среде. На основе этих уравнений решены практические задачи полета футбольного, волейбольного и теннисного мячей. Рассмотрены элементы фигурного катания – скольжение по дуге и вращение «винт». Изучено движение гимнастической булавы при жонглировании. Учитываются биомеханические особенности человека и реальные условия его движения.
Книга предназначена для студентов, изучающих общий курс теоретической механики и биомеханику спорта.
УДК 612.76: 796. 012 (075.8) ББК 75.0 Я 73
ISBN 978-5-398-02855-3 |
© ПНИПУ, 2023 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие ...................................................................................... |
5 |
Введение............................................................................................. |
6 |
Глава 1. Динамика мяча в сопротивляющейся среде............... |
7 |
1.1. Система сил, действующих на мяч. |
|
Аэродинамические коэффициенты лобового |
|
сопротивления и подъемной силы........................................ |
7 |
1.2. Дифференциальные уравнения движения |
|
центра масс мяча. Задача Коши.......................................... |
13 |
1.3. Гипотеза постоянства угловой скорости |
|
вращения ω .......................................................................... |
15 |
Глава 2. Математическое моделирование |
|
полета футбольного мяча.............................................................. |
17 |
2.1. Введение................................................................................ |
17 |
2.2. Историческая справка.......................................................... |
17 |
2.3. Расчет траектории мяча при ударах |
|
со стандартных положений................................................. |
19 |
2.4. Удар с центра поля по воротам........................................... |
19 |
2.5. Удар по воротам с углового ................................................ |
22 |
2.6. Пенальти................................................................................ |
24 |
2.6.1. Постановка задачи.......................................................... |
26 |
2.6.2. Решение поставленной задачи...................................... |
28 |
2.7. Выводы по главе................................................................... |
31 |
Глава 3. Удар по спортивному мячу........................................... |
33 |
3.1. Удар по неподвижному мячу.............................................. |
34 |
3.1.1. Случай непроскальзывания........................................... |
35 |
3.1.2. Случай проскальзывания............................................... |
37 |
3.2. Удар по движущемуся мячу................................................ |
37 |
3.2.1. Случай плоскопараллельного движения...................... |
38 |
3.2.2. Отскок мяча от неподвижной поверхности................. |
39 |
|
3 |
Глава 4. Математическое моделирование |
|
элементов фигурного катания..................................................... |
43 |
4.1. Введение................................................................................ |
43 |
4.2. Скольжение по дуге............................................................. |
43 |
4.3. Вращение «винт».................................................................. |
48 |
Глава 5. Изучение движения булавы |
|
при жонглировании ....................................................................... |
52 |
5.1. Введение................................................................................ |
52 |
5.2. Уравнения движения булавы .............................................. |
54 |
Список литературы........................................................................ |
59 |
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие является дополнением к теоретическому курсу по биомеханике спорта. В пособии рассмотрены примеры применения законов теоретической механики для решения задач биомеханики спорта. Учебное пособие соответствует программе по курсу спортивной биомеханики для технических вузов и иллюстрирует курс примерами по игре в футбол, настольный теннис, фигурному катанию и художественной гимнастике. Учитываются биомеханические особенности человека и реальные условия его движения и движение спортивных снарядов. Введение этих примеров способствует лучшему усвоению студентами основного теоретического курса.
Предназначено для студентов высших технических учебных заведений, изучающих биомеханику спорта. Авторы полагают, что рассмотренные в данном учебном пособии биомеханические модели должны получить дальнейшее развитие в сторону их усложнения и рассмотрения новых видов спортивных движений.
5
ВВЕДЕНИЕ
Спортивная биомеханика – это раздел биомеханики, который занимается различными приложениями данной науки в области спорта. Задачами спортивной биомеханики являются не только изучение биомеханических особенностей движений спортсмена с целью улучшения его спортивных результатов, но и изучение влияния других факторов, например спортивного инвентаря, спортивной обуви, погодныхусловий(в частности, ветра) и т.п.
Основой спортивной биомеханики являются механика, а также анатомия и физиология человека. С помощью механического подхода производится анализ движений спортсмена, анализ отдельных масс-инерционных характеристик сегментов тела, анализ движения спортивных снарядов. Биомеханика спорта основана как на методах механики (законах Ньютона, общих теоремах динамики и т.д.), так и на экспериментальных методах. Следует отметить, что механика тесно связана с применением математических концепций, которым также будетуделено внимание вданномучебном пособии.
В пособии достаточно простые биомеханические модели демонстрируют подходы к решению более сложных задач, таких как оптимизация спортивных движений, обеспечение их безопасности, реабилитация травмированных и т.д.
Для чтения предлагаемого пособия надо предварительно изучить курс теоретической механики, включающий в себя статику, кинематику и динамику, хотя некоторые сведения из этих разделов при необходимости приводятся. Изучение общих теорем динамики служит необходимым условием для постановки и решения задач динамики механической системы. Для решения задач биомеханики требуется также знание механических характеристик человеческого тела, и некоторыеизних приведенывтексте.
Учебное пособие написано для студентов, специализирующихся в области биомеханики. Оно также полезно всем, изучающим теоретическую механику по программам технических вузов. Приведенные примеры оживляют курс, позволяют глубже понять законы механики.
6
ГЛАВА 1. ДИНАМИКА МЯЧА
ВСОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ
1.1.Система сил, действующих на мяч. Аэродинамические коэффициенты
лобового сопротивления и подъемной силы
В видах спорта, где используется мяч, важнейшую роль играет траектория мяча, обеспечивающая правильный пас (удар, подачу), и самое главное – поражение ворот соперника, попадание в нужную точку площадки соперника или в нужную лунку (например, при игре в гольф). Использование математических моделей и компьютерного моделирования позволит прогнозировать траекторию полета мяча, а также освоить методику построения таких моделей и научиться реализовывать построенные модели на языке программирования. В данной главе студентам предлагается составить математическую модель движения центра масс мяча. Особенностью описания движения футбольного (волейбольного) мяча является то, что мяч может двигаться с большой скоростью, и в этом случае нельзя применять гидравлическое приближение (например, применяемое в курсе теоретической механики и базовой физики), в котором сила аэродинамического сопротивления пропорциональна квадрату скорости. На основе построенной модели предлагается решить задачу оптимизации, например для нахождения траекторий, наиболее благоприятных для взятия ворот соперника, или под каким углом к горизонту должен вылететь футбольный мяч, чтобы он пролетел наибольшее расстояние по горизонтали.
Будем рассматривать плоские и пространственные траектории движения мяча. На рис. 1 приведена траектория движения мяча в вертикальной плоскости OXY при начальной скорости V0 ,
лежащей в плоскости OXY, вращение мяча происходит вокруг оси, параллельной оси z.
Кинематические характеристики движения – вектор скорости поступательного движения V , направленный по касательной
7
к траектории центра масс, и вектор угловой скорости ω , направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки. Вращение может быть произвольным в зависимости от удара по мячу.
y
Q
V
M
R
ωP
x
z
Рис. 1. Система сил, действующих на футбольный мяч при его обратном вращении
При полете мяча на него действуют следующие силы: сила тяжести P = mg , где m – масса мяча, g – ускорение свободного
падения; сила лобового сопротивления |
|
R и подъемная сила Q . |
||
Силы R и Q зависят от квадрата скорости и определяются сле- |
||||
дующим образом: |
|
|
|
|
R = |
1 |
ρCD SV 2 |
, |
(1.1) |
|
2 |
|
|
|
Q = |
1 |
ρCL SV 2 |
, |
(1.2) |
|
2 |
|
|
|
где ρ – плотность воздуха, S – площадь наибольшего сечения мя-
ча, перпендикулярного V (площадь Миделя), CD и CL – аэродинамические коэффициенты лобового сопротивления и подъемной
8
силы соответственно. Момент сил трения относительно центра масс не учитываем, ввиду его малости, и во время полета вектор угловой скорости считаем постоянным (будет показано позднее).
Сила тяжести P направлена вертикально вниз. Сила лобового сопротивления R направлена противоположно вектору скорости V :
|
|
V |
|
||
R = −R |
|
V |
|
. |
(1.3) |
|
|
Сложнее обстоит дело с определением направления подъемной силы Q, обусловленной эффектом Магнуса (1852). Про-
стейшее обоснование этого эффекта состоит в том, что при полете мяча встречный поток воздуха взаимодействует с потоком воздуха, приводимого в движение вращающимся мячом. В зоне смешанных потоков в соответствии с принципом Бернулли образуется область повышенного давления. Так, например, при обратном вращении мяча скорость верхней точки мяча противопо-
ложна V. Область смешения находится вблизи нижней части мяча, и поэтому возникает подъемная сила. Однако у этого объяснения есть серьезный недостаток – поверхностный слой воздуха, захватываемый вращающимся мячом, достаточно тонок. Поэтому возникающих в нем сил вязкости может быть недостаточно для реализации принципа Бернулли. На рис. 2 представлено другое объяснение эффекта Магнуса. При движении с вращением частицы воздуха захватываются поверхностью мяча. Таким образом, отрыв воздушного потока от поверхности раньше происходит с той стороны, где поверхность мяча движется навстречу потоку воздуха. В результате огибающий мяч поток воздуха отклоняется в сторону (см. рис. 2, а). Но это означает, что и воздух действует на мяч, но уже в противоположном направлении. Для сохранения общего количества движения движение мяча должно быть противоположно движению воздушного потока (рис. 2, б).
9
Термин «подъемная сила» используется и при других направлениях поперечной аэродинамической силы.
а
б
Рис. 2. Объяснение эффекта Магнуса: а – вращение мяча отклоняет поток воздуха; б – возникновение подъемной силы поток воздуха
В эксперименте подъемная сила измеряется как сила, на-
правленная перпендикулярно векторам ω и V . Из опыта также известно, что она направлена в ту сторону, откуда кратчайший
поворот от вектора ω к вектору V виден происходящим против часовой стрелки. Это позволяет применить правило векторного произведения двух векторов:
|
|
|
|
ω×V |
|
||
Q = Q |
|
|
(1.4) |
|
ω×V |
|
10