книги / Физико-химические процессы в техносфере
..pdfЧтобы определить парциальное давление двуокиси углерода в газовой фазе, надо рассмотреть взаимодействия между газовой и жидкой фазами. Суммарную скорость обмена двуокиси углерода между газовой и жидкой фазами можно выразить при помощи теории «двух пленок» для газообмена [45]:
RG = kLа ((СО2)D – (СО2)D), |
(3.20) |
где RG – скорость газообмена, моль л–1 сут.–1; kLа – коэффициент скорости общего газообмена, моль л–1 сут.–1; (СО2)D – концентрация растворенного CO2 в жидкой фазе при наличии равновесия с газовой фазой, моль/л.
Равновесная концентрация растворенной двуокиси углерода вычисляется по закону Генри.
3.2. Исследование моделей анаэробных процессов, протекающих в педосфере
В |
общем виде |
протекание |
химико-биологических |
реакций |
|||||||
в почвенном массиве может быть описано в следующем виде: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
NS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γij |
Xi = 0 , |
(3.21) |
|||
|
|
{ |
S} |
|
{ |
i=1 |
R} |
|
|
|
|
где γ |
ij |
, |
|
|
– |
стехиометрический коэффици- |
|||||
|
,i 1,..., N |
|
j 1,..., N |
|
|
||||||
ент при компоненте Xi. |
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом констант прямых |
|
krf |
и обратных реакций |
krb ско- |
рость элементарной кинетической реакции Rr опишем уравнением
R |
|
b |
|
∏ |
β |
−V |
f |
|
∏ |
V |
|
(3.22) |
||
= k |
r |
|
ir − k |
r |
|
β ir . |
||||||||
r |
|
{ |
|
i |
{ |
i |
|
|
||||||
|
|
|
ir |
} |
|
|
|
ir |
|
} |
|
|
||
|
|
|
i|v |
<0 |
|
|
|
i|v |
>0 |
|
|
Первое слагаемое относится к продуктам реакции, второе – к реагентам, βi – концентрация компонентов в строках матрицы.
61
Дифференциальная форма уравнения (3.22) в частных производных для кинетических реакций запишется в виде [34]
∂Rr |
= −krf Virβ(jVir −1) ∏βvkkr , если Vir > 0 (реагент), и |
|
|
∂β j |
j≠ k |
(3.23) |
|
∂Rr |
= −krbVirβ(j− vir −1) ∏βk−vkr , если Vir < 0 (продукт реакции), |
||
|
|||
∂β j |
j≠ k |
|
где βj – концентрация элемента в столбиках матрицы обратимых реакций.
Таким образом,
∂Rr → ±∞ |
для |
|
v |
|
< 1 β |
j |
→ 0. |
|
|
||||||
∂cj |
|
|
ir |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение (3.23) для нахождения концентраций компонентов можно найти для кусочных функций в следующих областях:
M1 = {k {1,..., s} |Vkr ≥ 1 βk > β} ,
M2 = {k | 0 < Vkr < 1 βk ≤ β} , M3 = {k |Vkr ≤ −1 βk > β} ,
M4 = {k | −1 < Vkr < 0 βk ≤ β} ,
что приводит к четырем случаям частных производных с конечными пределами для β j → 0 [34]:
∂Rr = −krf Vjrβ(jVjr −1) |
∏ βvkkr ∏ |
|
βvkr |
βk |
, j M1 , |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂β j |
|
= −kr |
β j |
k M1 ,k ≠ j |
k M2 |
|
|
|
|
β |
|
|||||||||
∂Rr |
∏ |
βk |
∏ |
β |
|
|
, j M2 , |
|
||||||||||||
|
f |
v jr |
1 |
vkr |
|
|
vkr βk |
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂β j |
|
|
|
β k M1 |
k M2 ,k ≠ j |
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂Rr = −krbVjrβ(j−v jr −1) ∏ βk−vkr |
∏ |
β−vkr |
βk |
, j M3 , |
(3.24) |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
∂β j |
= −kr |
β j |
k M3 ,k ≠ j |
|
k M4 |
|
|
|
|
|
β |
|
||||||||
∂Rr |
∏ βk |
∏ β |
|
|
|
|
|
, j M4 . |
|
|||||||||||
|
b |
|
−v jr |
1 |
−vkr |
|
|
|
−vkr βk |
|
|
|
|
|
||||||
∂β j |
|
|
|
|
β k M3 |
k M4 ,k ≠ j |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
62
Для более полного описания биохимических процессов предложено балансовое уравнение, имеющее следующий вид [45]:
V dS1 |
= F (S0 |
− S1 ) − |
μX1 |
V , |
(3.25) |
|
|||||
dt |
|
|
Y x/ s |
|
где F – объемный расход жидкой фазы, л/сут; S0 – концентрация субстрата на входе; S1 – концентрация субстрата на выходе; μ – скорость роста, сут–1; V – объем жидкости в реакторе, л; X1 – концентрация произведенных бактерий; Yx/s – моль произведенных бактерий / моль потребленного субстрата.
Убыль микроорганизмов описана уравнением
V |
dX1 |
= F (X0 − X1 ) + μX1V − kтTXV , |
(3.26) |
|
dt |
||||
|
|
|
где kт – коэффициент токсичности, моль биодеградации бактерий / моль токсичного вещества в сутки; ТХ – концентрация токсичного вещества, моль/л.
Балансовое уравнение двуокиси углерода в газовой фазе реактора имеет вид
dPCO2 |
= −P D |
V |
R − |
PCO2 |
Q , |
(3.27) |
dt |
|
V |
||||
G |
V |
G |
|
|
||
|
|
G |
|
G |
|
|
где D – объем 1 моля газа; V, VG – объем жидкости и газа в реакторе, л; РG – суммарное давление СО2 и СН4 в газовой фазе реактора, ммрт.ст.; РСО2 – парциальное давление СО2 в газовой фазе, мм рт.ст.; Q –
суммарный объемный расход сухого газа, QCН4 + QCO2 , л/сут.
Балансовое уравнение двуокиси углерода, растворенного в жидкой фазе реактора
V |
d(CO2 ) |
D1 |
= F {(CO2 ) − (CO2 ) |
}+ RGV + RBV + RCV , |
(3.28) |
dt |
|
||||
|
|
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
где RG – скорость газообмена, моль л–1 сут–1; RB – скорость потребления органического субстрата полигона микроорганизмами.
63
Общее уравнение скорости образования двуокиси углерода из бикарбоната RC, описываемое реакцией HS– + HCO–3 ↔ H2O + CO2 + S2–, имеет вид
RC = |
F |
(HCO3− ) |
|
− |
F |
(HCO3− ) |
+ dS0 |
− dS1 , |
(3.29) |
|
|
V |
|||||||
|
V |
0 |
|
1 |
dt |
dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где F – объемный расход жидкой фазы, л/сут; S1, S0 – концентрация |
|||||||||
субстрата на выходе и входе реактора; V |
– объем |
жидкости |
|||||||
в реакторе, л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, биохимические процессы тесно связаны с физическими параметрами субстанции массива ТБО. От температуры, влажности и плотности отходов значительно зависит скорость и направление биохимических реакций, которые, в свою очередь, взаимно влияют на физические процессы.
3.3.Моделирование физических процессов в педосфере
Кфизическим процессам, протекающим в техносфере, относятся тепло- и массоперенос, растворение и диффузия. Процесс массопередачи характеризуется переносом вещества между различными фазами: жидкость, газ (пар), твердое вещество. Движущей силой теплопереноса является разность температур, при этом температура оказывает большое влияние на весь спектр процессов, протекающих в техносфере. В связи с этим представляет интерес задача теплопроводности, включающая в себя дифференциальную и вариационную постановку задачи теплопроводности.
При постановке задачи массопереноса рассматривалось движение частиц жидкости фильтрационных вод, описываемых переменными Лагранжа. Учитывая гравитационное притяжение, для упрощения описания динамики принято во внимание только верти-
кальное направление. Введены сопряженные переменные x,ξ – пространственные и t,τ – временные. Для применения теории дифференциального исчисления получено уравнение неразрывности, использующее переменные Эйлера, связывающее переход из дискретной
64
области в непрерывную. В результате получены функции потока q(x,t) , влажности ω(x,t) и скорости движения фильтрата v(x,t) ,
которые использованы при составлении уравнения материального баланса фильтрата, вошедшего в модель управления [50]:
q(x,t) = lim |
N |
|
= |
∂N |
, ω |
(x,t) = lim |
N |
|
|
= |
∂N |
, |
|||
|
|
||||||||||||||
t→0 |
t |
x=ξ |
|
∂t |
|
x |
= dx |
х→0 |
х |
|
τ |
|
∂х |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
v |
x,t |
= lim |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t→0 |
t |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
где N – количество фильтрата.
3.3.1. Моделирование процесса теплопереноса
Дифференциальная постановка задачи теплопроводности в педосфере
Процесс теплопереноса задан в области Ω R3 c границей S, Ω = Ω S, S = Si Sk, на части границы Si заданы граничные усло-
вия 1-го рода (изолированный экран), на части Sk заданы граничные условия 3-го рода (конвективный теплообмен). Уравнение теплопроводности в сплошной среде имеет следующий вид [48]:
K |
|
∂2t |
+ K |
|
∂2t |
+ K |
|
∂2t |
+ Γ = 0 |
, |
(3.30) |
||||
ХХ ∂x |
2 |
YY ∂y |
2 |
ZZ ∂z |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
где t – температура; kхх, kуу, kzz – коэффициенты теплопроводности в направлениях x, y и z; Γ – внутренний источник тепла, при граничном условии
kxx |
∂t |
lx + kyy |
∂t |
ly + kzz |
∂t |
lz + h(t − tос ) − ϕ = 0 , |
(3.31) |
|
∂x |
∂y |
∂y |
||||||
|
|
|
|
|
где h – коэффициент теплообмена, кВт/м2; t – температура на границе; tос – температура окружающей среды; ϕ – точечный источник тепла.
65
Для нахождения приближенного решения дифференциальной задачи с помощью таких численных методов, как метод Ритца, Буб- нова–Галеркина, конечных элементов (МКЭ) построены вариационные аналоги исходных дифференциальных задач.
Вариационная постановка задачи
Для уменьшения размерности задачи в связи с численным подходом к ее решению рассмотрим плоскую задачу теплопроводности. Вариационный аналог будет представлен минимизацией следующего функционала:
KXX |
∂t 2 |
||||
χ = |
|
|
|
|
+ |
2 |
|
||||
V |
|
∂x |
|
||
|
|
|
|
|
|
K |
YY |
|
∂t 2 |
||
|
|
|
|
dV |
|
2 |
|
||||
|
∂y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ qt + |
2 |
h(t − tОС) dS → min. (3.32) |
S |
|
Для минимизации функционала на множестве узловых значений с различными характеристиками материала интеграл должен быть представлен в виде суммы интегралов, каждый из которых вычисляется по отдельному элементу. Матрица теплопроводности элемента имеет следующий вид:
kе |
= |
B T |
D B |
dV + |
|
h |
N T |
N |
] |
dS . |
(3.33) |
|
|
[ ] [ ][ ] |
|
[ |
] [ |
|
|
|
|||
|
|
V |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
В качестве дискретного элемента для разбивки используем треугольный элемент. Функция формы для линейного треугольного элемента имеет вид
Nβ = |
1 |
(aβ + bβ x + cβ y), |
|
β = i, j,k. |
(3.34) |
||||
2A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Температура описывается формулой |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ti |
|
|
|
|
t = N |
N |
j |
N |
|
t |
. |
(3.35) |
|
|
i |
|
|
k |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tk |
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица градиентов [В]
[B] = |
1 |
bi |
bj |
bk |
|
|
|
cj |
. |
(3.36) |
|
|
|||||
|
2A ci |
ck |
|
||
|
|
|
|
|
|
Матрица свойств материала [D]
kxx |
0 |
(3.37) |
|
[D] = |
|
. |
|
|
0 |
kyy |
|
Теперь объемный интеграл примет следующий вид:
|
|
1 |
|
bi |
ci |
kxx |
0 bi |
bj |
bk |
||||
T |
|
|
|
|
|||||||||
[B] |
[D][B]dV = |
|
|
bj cj |
0 |
k |
|
|
c |
|
c |
dV . (3.38) |
|
4A |
2 |
yy |
|
||||||||||
|
|
|
b |
c |
|
c |
|
|
|||||
V |
V |
|
|
|
|
|
|
j |
|
||||
|
|
k |
k |
|
|
|
i |
|
|
k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предполагая толщину элемента единичной, заменим dV на dA. Подынтегральное выражение в (3.38) постоянно и может быть вынесено за знак интеграла:
[B]T [D][B]dV = [B]T [D][B] dA = A[B]T [D][B]. |
(3.39) |
|
V |
A |
|
Вычисляя произведение матриц, имеем
|
(e) |
|
kxx |
b b |
b b |
|
|
|
i i |
i |
j |
||
k |
|
= |
|
bjbi |
bjbj |
|
4A |
||||||
|
|
|
|
bk bi |
bk bj |
bibk bjbk +
bk bk
kyy ci
4A cj
ck
ci ci ci
cicj cj cj ck cj
cick
cj ck . (3.40) ck ck
Второй интеграл должен быть вычислен по поверхности:
h[N]T [N]dS . |
(3.41) |
S |
|
Подставляя в матрицу [N] функции формы и выполняя матричное умножение, получаем
67
|
Ni Ni |
||
T |
|
|
|
h[N] [N]dS = h N j Ni |
|||
S |
S N |
N |
i |
|
k |
|
Ni N j N j N j Nk N j
Ni |
Nk |
|
|
|
|
|
(3.42) |
N j Nk dS . |
|||
N |
N |
|
|
k |
k |
|
3.3.2 Разработка диффузионно-фильтрационных моделей образования газообразных углеводородов
в пластах литосферы
Образующийся биогаз в техносфере может содержаться в порах и пластах отходов в сорбированном виде. Если биогаз считать идеальным, то связь между концентрацией газа с и его плотностью
ρ устанавливается законом Генри
c (x, t) = v ρ(x, t),
где растворимость v определяется температурой, и газоемкостью [87]
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
φ |
|
|
|
1 |
|
2πh2 |
2 |
T |
2 |
|
|
|||
v = |
eT |
, |
|||||||||
|
|
mT |
|
|
r |
|
|||||
|
|
||||||||||
|
Ω |
|
|
T |
|
|
|
|
(3.43)
энергией связи
(3.44)
где Ω – объем, доступный для биогаза; Т – температура; m – масса молекулы.
При справедливости изотермы Ленгмюра количество «поверхностных» молекул биогаза ρS на единицу объема Vb определяется соотношением [54]
ρs = |
Vbρ |
|
, |
(3.45) |
|
σ Λ 1 |
+ V ρ |
) |
|||
|
( |
b |
|
|
где Λ – обратная удельная поверхность пор; σ – площадь поверхностной молекулы биогаза.
Эмиссия (диффузия) биогаза из полигонного пласта состоит из двух процессов: эмиссии биогаза через систему открытых каналов и диффузии биогаза в фильтрационный объем.
68
Ведущим процессом является фильтрация. По мере фильтрации давление биогаза в фильтрационном объеме снижается, что создает движущую силу для десорбции биогаза.
Рассмотрим одномерную задачу с вертикальным слоем длиной х. Слой состоит из элементов, разделенных системой пор, сообщающихся с периметром массива, имеющим открытый доступ в атмосферу. Для упрощения расчетов примем геометрию почвенных элементов в виде шаров.
Давление и плотность биогаза связаны уравнением состояния идеального газа
Р = ρ Т. |
(3.46) |
Массоперенос биогаза по системе открытых каналов происходит за счет фильтрации, для описания которой можно применить уравнение Дарси [7]
∂n |
= |
∂ k |
ρ |
∂P |
, |
(3.47) |
||
∂t |
|
|
|
|
||||
|
μ |
|||||||
|
∂x |
|
∂x |
|
|
где n – количество молекул биогаза, содержащихся в единице объема отходов; k – коэффициент проницаемости; μ – динамическая вязкость биогаза.
Проницаемость пористой среды k можно принять размерностью квадрата длины.
3.4.Моделирование механических процессов
3.4.1.Моделирование устойчивости насыпей и склонов
Вкачестве механических процессов, рассматривающихся при проектировании насыпей, выступает возможное движение грунта, его осадка и деформация. Расчет грунтовых склонов состоит из трех блоков: расчет устойчивости боковых откосов, прочностной расчет несущей способности основания и расчет по деформациям (СНиП 2.02.01–83). Выбор метода расчета по деформациям зависит от геологических особенностей местности:
69
Метод расчета |
Применение |
Линейно-деформированного слоя |
Однородное грунтовое основание |
Эквивалентного слоя |
Водонасыщенные грунты |
Послойного суммирования |
Траншейное захоронение |
Цилиндрических поверхностей |
|
скольжения |
Устойчивость откосов краев |
Прислоненного откоса |
котлована |
Расчет осадок представлен методами расчета линейно-дефор- мированного слоя, эквивалентного слоя и послойного суммирования.
При применении метода расчета линейно-деформированного слоя рассматривается постановка и решение задачи сжатия слоя массива при помощи одномерной модели, учитывающей только линейнуюосадку, илитрехмерной, учитывающей боковоерасширение.
Для определения осадки грунта S рассматривается изменение его объема за счет уменьшения пористости:
S = h – h1, |
(3.48) |
|
где h, h1 – высота слоя до и после приложения давления. |
|
|
h |
= 1+ e2 , |
(3.49) |
1 |
1+ e1 |
|
|
|
где e1, e2 – коэффициенты пористости грунта до и после приложения давления.
Окончательно величина осадки |
|
|
S = mV Ph, |
(3.50) |
|
где mv – коэффициент относительной сжимаемости; |
P = e1 − e2 |
– |
|
m |
|
|
0 |
|
нагрузка на массив; m0 – коэффициент уплотнения.
При трехмерной постановке задачи используется модуль общей деформации грунта Е0. Напряжения внутри массива определяются по уравнениям
70