книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1

Из (4.54) следует, что первая интегральная кривая y1 не

имеет критических точек на интервале R, а, следовательно, для неё и нет точек экстремумов.

Так как y1′ > 0 всюду в R, то интегральная кривая y1 (x)

является монотонно-возрастающей функцией в R и достигает своего наибольшего значения в правом конце рассматриваемого интервала при x → ∞. Подсчитаем его:

y = lim 1− 1 e−x =1..

1 наиб x→∞ 2

ся критической точкой. Составим теперь вторую производную

171

Качественный график зависимостей y1, y2 , y3 от x приведен на рис. 4.5.

y

Рис. 4.5

Замечание. Исходя из физического смысла задачи, с учетом ограничений на параметры 0 < c1, c2 , c3 <1 и t > 0, кривую

y3 (x) = c3 приходится корректировать путем изменения значе-

при ограничении 1−с3 e−2 c2 −2c1x ≠ 0.

172

Для упрощения исследований положим в (4.55) c2 −2c1 = = 4, тогда (4.55) будет иметь вид

что y1′ не существует при условии 1−с3 e−4x = 0, но эти значения не включены в область определения функции. Следовательно, критических точек кривая y1 (x) не имеет, а следова-

тельно, нет и экстремумов функции y1 (x). Положим для опре-

убывающей во всей своей области определения. Если рассмот-

дачи 4.4.

Остановимся теперь на исследовании интегральных кривых на экстремум по второй схеме исследований (поиск экстремумов функций нескольких переменных). Для иллюстрации этой схемы вернемся к задаче 4.3.

173

Задача 4.8. Используя данные и схему решения задачи 4.3, исследовать на условный экстремум линейную комбинацию её решений (4.23).

Решение. Применим для решения данной задачи метод множителей Лагранжа (формулы (2.52) и (2.53) р. 6 п. Д. 2.5).

Общие решения имеют вид

где c1, c2 , c3 – произвольные постоянные (подлежащие определению); α, β, γ – произвольные числа.

Выражение (4.56) является исследуемой линейной комбинацией решений данной задачи.

Выберем коэффициенты (4.56), например: α = −1, β =1,

174

Тогда после подстановки (4.56′) и (4.57′) в (4.57) получим окончательный вид функции Лагранжа:

Найдем для (4.58) частные производные L′x , L′c1 , L′c2 , L′c3 , L′λ

и приравняем их к нулю. Объединяя все полученные уравнения, приходим к следующей системе уравнений для определе-

ния x, c1, c2 , c3, λ:

Система (4.59) является нелинейной, кроме того, трансцендентной, поэтому найти аналитические решения её чрезвычайно сложно. В связи с этим для решения системы использована программа, реализующая численный метод НьютонаРафсона решения нелинейных алгебраических систем.

Программа, реализованная на алгоритмическом языке Турбо Паскаль, приведена в прил. 3. При шаге поиска решения h = 0,01 за m = 15 итераций найден вектор значений решения

системы U ={18,539; −1; 0; 0; −3,5}.

Для получения аналитических решений системы (4.59) ограничимся некоторыми её частными случаями.

Случай 1. Пусть c3 = 0, x = 2 с.

Тогда функция (4.58) имеет вид

175

Составим систему (4.59):

муле (2.55'') (см. п. Д. 2.5). Составим определитель

176

В этом определителе индексы дифференцирования x и y соответствуют определяемым константам c1, c2 , c3.

Для случая 1 полагаем

L(c1,c2 ) = −c1 +3c12 −0,408c22 +1,632c1c2 −0,054c22 +λ(c12 −c22 −1).

Тогда

Lc′1 = −1+6c1 +1,632c2 + 2λc1,

Lc′′1c1 = 6 + 2λ,

Lc′′1c2 =1,632,

ϕ′c1 = 2λc1, ϕ′c2 = −2λc2 ,

Lc′2 = −0,916c2 +1,632c1 −0,108c2 −2λc2 , Lc′′2с2 = −0,916 −0,108 −2λ.

Подсчитаем теперь значения всех найденных производ-

ных для точки P1 = (1,138; −0,543):

Lc′′1c1 (P1 ) = 6 + 2(−2,171) =1,658, Lc′′1c2 (P1 ) =1,632,

ϕ′c1 = 2 (−2,171) 1,138 = −4,941,

ϕ′c2 = −2 (−2,171) (−0,543) = −2,357, Lc′′2с2 = −0,916 −0,108 −2(−2,171) = −5,366.

Подставим найденные значения производных в определитель и вычислим его:

177

Таким образом, точка P1 = (1,138; −0,543) является точкой

условного максимума. Рассмотрим 2-й случай:

L(c1,c3 ) = −c1 +3c12 +3c3e−2 +λ(c12 −c22 −1) =

= −c1 +3c12 +0,408c3 +λ(c12 −c32 −1).

Найдем частные производные:

Lc′1 = −1+6c1 +2λc1, Lc′′1c1 = 6 +2λ,

Lc′3 = 0,408 −2λc3 ,

Lc′′3c3 = −2λ, Lc′′1c3 = 0, ϕ′c1 = 2λc1, ϕ′c3 = −2λc3.

Вычислим значения производных для точки P2 = (1,003;

−0,0815):

Lc′′1c1 (P2 ) = 6 + 2 (−2,5) =1,

Lc′′3c3 (P2 ) = −2 (−2,5) = 5, Lc′′1c3 = 0

ϕ′c1 = 2 (−2,5) 1,003 = −5,015,

ϕ′c3 = −2 (−2,5) (−0,0815) = −0,408.

Подставив аналогично найденные значения производных, вычислим определитель ∆2:

178

Откуда следует, что точка P2 = (1,003; −0,0815) является точ-

кой условного минимума.

Геометрическая интерпретация задачи 4.8 представлена на рис. 4.5′ Функция L(c1, c2 ), построенная для случая 1 в виде

(4.58a), задает в пространственной системе координат некоторую поверхность в скалярном поле, один из уровней которой определяется фиксированным значением λ = const. Значение x = 2c определяет секущую плоскость к данной поверхности, в сечении которой получается некоторая кривая, описываемая уравнением в явном виде c2 = ϕ(с1 ). Аналогичные рассужде-

ния справедливы для случая 2.

На рис. 4.5′ приведены графики сечений c2 = ϕ(с1 ) и c3 = = ϕ(с1 ) рассмотренного примера, там же изображены точки

179

4.4.3. Исследование устойчивости решений прикладных задач

Изложение материала данного пункта начнём с разбора основных понятий об устойчивости решений системы дифференциальных уравнений и введения понятия простейших типов точек покоя. Проблемы устойчивости решений систем дифференциальных уравнений предварительно рассматривались в п. 2.3.3. Там же для системы (2.41) рассмотрен критерий устойчивости Ляпунова (см. формулы (2.43)–(2.45)). В рамках этого пункта рассмотрим дополнительные сведения об устойчивости решений системы (2.41) и введем несколько основных понятий.

Система (2.41) записывалась в виде

критериям (2.43)–(2.45) (см. п. 2.3.3), но и удовлетворяет условиям

(2.41) может быть сведен к вопросу об устойчивости нулевого решения xi (t) = 0 некоторой новой системы уравнений, полученной из (2.41) линейной заменой искомых функций вида

где xi (t) – новые неизвестные функции (равные отклонениям прежних неизвестных функций yi (t) от функцийϕi (t) , опреде-

180