Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория функций комплексного переменного

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

7. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ Вычеты функции

Вычетом аналитической функции f (z) в изолированной

особой точке z0	называется комплексное число,			равное значе-
нию интеграла	1	∫ f (z)dz, взятого в положительном на-

	2πi L
правлении по окружности L с центром в точке					z0 , не содер-
жащей внутри себя других особых точек f (z) , кроме z0.
Вычет обозначается символом			Res f (z0 )	(Res		– residu
(фр.) – вычитать). Таким образом,			Res f (z0 ) =		1	∫ f (z)dz,
					2πi
						L

т.е. он равен коэффициенту ряда Лорана по степеням разности z − z0 в том члене, где его степень равна –1: Res f (z0 ) =C−1.

Вид особой

Вычисление вычетов

точки z0

Устранимая

Res f

(z0 ) = 0

(7.1)

(правильная)

Res f

(

0 )

= lim

z − z

0 )

(

)

(7.2)

z→z

(

Простой

Если

f (z) =

φ(z)

, ψ′(z0 ) ≠ 0 , то

ψ(z)

полюс

φ(z0 )

Res f (z0 )

(7.3)

ψ′(z0 )

Полюс крат-

Res f

(z0 )

lim

dn−1

(z − z0 )n

f (z)

(7.4)

ности n

(n −1)! z→z0

dzn−1

Существенно

Res f

) = C

−1

(7.5)

особая

Основная теорема о вычетах

Если функция f (z) – аналитическая в области D за ис-

ключением конечного числа особых точек		zk D,		то справед-
ливо равенство
	n
∫ f (z)dz = 2πi ∑ Res f (zk ),		zk D,						(7.6)
L	k=1
где L – граница области D.
				e	− 1
Пример 7.1. Найти вычеты функции		f (z) =		e	z				в её
Пример 7.1. Найти вычеты функции		f (z) =	(			2	)	2	в её
			1− z			2
			1− z

особых конечных точках. Особыми точками функции являются точки z = 0 и z = ±1 .

Разложим функцию в ряд Лорана в точке z = 0 :

e− 1z

=(1+(−z2 ))−2 e− z =

(

)

− z

= 1

−

(

)

(−z2 )

(

)(

) (−z2 )

+... ×

(−z2 )+

−2

−3

−2

−3

−4

× 1−

−

...

2!z

3!z

4!z

=(1+2z

+3z

+4z

+...) 1

−

+... .

24z

Видим, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, следовательно, z = 0 существенно

особая точка. Res f (0) =C−1 = −1− 3!2 − 5!3 − 7!4 −... .

		e	− 1
lim		e	z				= ∞, следовательно, z = ±1 – полюс функции.

	(				)	2
z→±1	1	− z		2
	1	− z

2πi L∫−

− 1

Представим функцию в виде f (z) e z . Видим,

(1− z)2 (1+ z)2

что z = ±1 полюсы порядка n = 2.
		1			d		e	− 1z
Res f (1) =		1		lim	d	(z −1)2	e		=
Res f (1) =	(2	−		lim		(z −1)2	(1− z)2 (1+ z)2		=
	(2	−	1)! z→1 dz				(1− z)2 (1+ z)2

− 1z

′

− 1z

= lim

−

= 0.

(1+ z)2

z→1

(1+ z)2

z→1 z2

(1+ z)3

− 1z

Res f (−1) =

lim

(z +1)2

(1− z)2 (1

+ z)2

−1)! z→−1 dz

− 1z

′

− 1z

= lim

(1− z)2

z→−1

(1− z)3

Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки

Вычетом функции f (z) относительно бесконечно удаленной точки называется комплексное число, равное значению

интеграла f (z)dz , где L− – контур достаточно большой

окружности, проходимый в отрицательном направлении.

Из определения следует, что вычет функции бесконечности равен коэффициенту при z−1 в лорановском разложении функции f (z) в окрестности точки z = ∞, взятому с противоположным знаком Res f (∞) = −C−1.

Обобщенная теорема о вычетах

Сумма вычетов функции f (z) во всех точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:

∑ Res f (zk ) +Res(∞)

= 0 .

(7.7)

k=1

Пример 7.2. Найти вычеты функции f (z) =

z +2

во

z2 −2z −

всех её особых точках.

Преобразуем

функцию

f (z) =

z +2

z2 −2z −3

( z +1)(z −3)

Особыми точками

функции

являются

точки

z = −1,

z =3

и z = ∞.

Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности этих

точек:

f (z) =

−14

−

∑∞

5( z +1)n

, 0 <

z +1

< 4;

z +1

n=0

4n+2

f (z)

5 4

+ ∑∞ (−1)n+1 ( z −3)n , 0 <

z −3

< 4;

z −

n=0

4n+2

f (z) = ∑∞ (−1)n +5 3n−1

<3.

n=0

Из этих

разложений

находим

Res f (−1) =C

−1

= − 1

Res f (3) =C−1

= 5

Res f (∞) =C−1 = − −1+5 30

= −1.

Полученный результат иллюстрирует обобщенную теорему о вычетах:

Res f (−1) +Res f (3) +Res f (∞) = 0.

Известные разложения функций ez , sin z, cos z, sh z, ch z можно рассматривать как лорановские разложения в окрестности точки z = ∞. Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеют в точке z = ∞ существенную особенность.

Пример 7.3. Найти вычеты функции	f (z) =sin 1	+	1
			z

в её особых точках.

Конечной особой точкой функции является существенно особая точка z = 0.

Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки, применяя формулы (4.4) и (4.5):

f(z) =sin 1+ 1z =sin1 cos 1z +cos1 sin 1z =

=sin1 1

−

+…

+cos1 1

−

+…

2!z

3!z

=sin1+cos1

− sin1

−…

2! z

Следовательно, Res f (0) =C−1 = cos1.

Так как у рассматриваемой функции других конечных

особых точек нет, то по формуле (7.7) Res f (∞) = −cos1.
Пример 7.4. Найти вычеты функции	f ( z) =	2z105 −1	в её
		z106

особых точках.

Конечной особой точкой функции является точка z = 0 – полюс 106-го порядка.

Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки:

f (z) =	2z105 −1 =		2	−	1	.
			z
	z106				z106
Из разложения видно, что		Res f (∞) = −C−1 = −2.

Используя формулу (7.7), получаем Res f (0) = 2.

Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов

Теорема Коши о вычетах

Если функция w = f (z) является аналитической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением

точек zk (k =1, 2, …, n) , лежащих внутри области D, то
	n
∫ f (z)dz = 2πi ∑ Res f (zk ).				(7.8)
L	k=1
Пример 7.5. Вычислить интеграл ∫				sin z dz	, исполь-
				3
		z+1	=2	z ( z +1)

зуя теорему Коши о вычетах.

Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки z = 0 и z = −1 .

Тогда ∫		sin z dz		= 2πi(Res f (0) +Res f (−1)) .
		3
	L z (z +1)
Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.
lim	sin z		=1 , следовательно, z = 0 – устранимая точка
	(z +1)3
z→0 z
и Res f (0) = 0 .
lim	sin z		= ∞ , следовательно, z = −1 – полюс.

z→−1 z ( z +1)3

Так как

lim

sin z

( z +1)3 =1 , то z = −1

–

полюс по-

z→−1 z (z +1)3

рядка n =3.

Res f (−1)

d 2

sin z

( z

+1)

lim

(z +1)3

−1)! z→−1 dz2

lim

sin z

″

lim

z cos z −sin z ′

2! z→−1

=	1	lim	z2	(cos z − z sin z −cos z) −2z ( z cos z −sin z)		=

				z	4
	2! z→−1

z2 sin z +2z cos z −2sin z

sin1−2cos1

= −

lim

2! z→−1

Таким образом,

∫

sin z dz

= 2πi sin1−2cos1

= πi(sin1−2cos1).

z (z +1)

Применение вычетов к вычислению интегралов

от функции действительного переменного

Интегралы вида

2π

∫ R(sin x,cos x)dx

Функция

R(sin x,cos x) = R(u, v)

– рациональная функция

аргументов u и v .

Определенный интеграл такого вида решается с помощью

замены			z = eix . Эта замена переводит отрезок [0; 2π] в окруж-
ность	z		=1, 0 ≤ arg z ≤ 2π.

		77

Так

как

cos x =

eix +e−ix

и sin x =

eix −e−ix

то cos x =

z +

sin x =

z −

Из равенства eix

= z

получаем

ieixdx = dz, следовательно, dx = dziz .

В результате получаем формулу, связывающую интеграл от действительного переменного с интегралом по замкнутому контуру z =1 от функции комплексного переменного, к кото-

рому применима основная теорема Коши о вычетах:

2π

1 1

1 dz

∫ R(sin x,cos x)dx = ∫

z +

−

(7.9)

z iz

Пример 7.6. Вычислить с помощью

вычетов

интеграл

2π

∫

+2cos x)

Произведем замену переменного, положив z = eix . Отсюда

получаем

cos x = eix +e−ix =

z + z

z2 +1

ieixdx = dz dx =

= dz . Эта

замена

переводит

отрезок

[0;

2π]

в окружность

= 1, 0 ≤ arg z ≤ 2π. Следовательно,

2π

= ∫

=1 ∫

zdz

= I.

∫

(3 +2cos x)

(

)

iz 3 +2

+3z +1

В круге

<1 функция

f (z) =

имеет полюс

(

z2 +3z

)

второго порядка

z	=	−3 + 5	.

1	2

Найдем вычет функции в этой точке:

−3 +

Res f

−3

+ 5

lim

z −

1! z→

−3+ 5

−3

+ 5

−

−3 −

z −

′

3 + 5

− z

lim

= lim

5 5

z→

−3+ 5

−3 −

z→

−3+ 5

3 +

z −

Следовательно, I =1i 2πi 5 35 = 6255 π.

+∞

Интегралы вида ∫ R(x)dx

−∞

Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью вычетов:

Пусть R(x) – рациональная функция, R(x) = Pl (x) , где

Qm (x)

Pl (x) и Qm (x) – многочлены степени l и m соответственно, не имеющая особых точек на действительной оси (т.е.

Qm (x) ≠ 0 для x R), для которой степень знаменателя по

крайней мере на две единицы больше степени числителя (т.е. m −l ≥ 2). Тогда справедливы формулы

+∞

(zk ), Im zk

∫ R(x)dx = 2πi∑ Res R

> 0.

(7.10)

−∞

k=1

+∞

∫ R(x)dx = −2πi∑ Res R(zk ), Im zk

< 0.

(7.11)

−∞

k=1

Пример 7.7.

∞

Вычислить интеграл ∫

dx.

(

)

x2 +1

Так как подынтегральная функция

R(x) =

четная,

(

x2 +

)

∞

то ∫

dx =

∫

dx.

(

)

(

)

−∞

Построим функцию

R(z) =

, которая на действи-

(

)

тельной оси (при z = x) совпадает с подынтегральной функцией R(x). Особые точки функции R(z) – это точки z1 =i и z2 = −i. Из них в верхней полуплоскости находится точка z1 =i, которая является полюсом второго порядка. Вычет

функции R(z) относительно полюса i

имеет следующий вид:

Res R(i) = lim

−i)2

(z +i)

(z −i)

z→i

′

2iz

= lim

(z +i)

+i)

z→i

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202327.99 Mб1Теория упругости микронеоднородных сред..pdf
#
12.11.202311.07 Mб1Теория упругости неоднородных тел..pdf
#
12.11.20238.54 Mб6Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости.pdf
#
12.11.20235.05 Mб2Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы.pdf
#
12.11.202321.88 Mб2Теория упругости..pdf
#
12.11.20231.22 Mб5Теория функций комплексного переменного..pdf
#
19.11.202328.91 Mб2Теория функций комплексной переменной..pdf
#
12.11.20235.34 Mб3Теория химических реакторов введение в основной курс..pdf
#
12.11.20236.48 Mб1Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса.pdf
#
12.11.20232.15 Mб15Теория электрической связи. Основные понятия.pdf
#
13.11.202324.95 Mб11Теория электрической связи. Помехоустойчивая передача данных в информационно-управляющих и телекоммуникационных системах модели, алгоритмы, структуры.pdf