книги / Решение геометрических и физических задач с помощью определенного интеграла

Составители: канд. физ.-мат. наук М.А. Макагонова, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» И.В. Тонкоева

УДК 517.38(076.2)(072.8) Р47

Рецензент старший преподаватель Н.В. Рогова

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Решение геометрических и физических задач с помощью Р47 определенного интеграла : метод. указания / сост. М.А. Макагонова, И.В. Тонкоева. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед.

политехн. ун-та, 2014. – 67 с.

Приведены задания для самостоятельной работы студентов по теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла», необходимые методические рекомендации по их выполнению, пример решения заданий.

Предназначено для студентов всех направлений подготовки.

УДК 517.38(076.2)(072.8)

© ПНИПУ, 2014

2

3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Приведенные ниже задания предназначены для индивидуальной работы студентов по теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла». По выбору преподавателя задание выполняется в полном объеме или частично. Для выполнения заданий необходимо ознакомиться с соответствующим теоретическим материалом по учебно-методическому пособию «Приложения определенного интеграла» или по учебнику (см. список рекомендуемой литературы) и разобрать решения аналогичных задач, приведенные в приложении.

Перед решением задач необходимо самостоятельно рассмотреть следующие теоретические вопросы:

1.Определение и свойства определенного интеграла.

2.Вычисление определенного интеграла, формула Ньютона – Лейбница.

3.Интегрирование с помощью замены переменной.

4.Интегрирование по частям.

5.Геометрический и физический смысл определенного инте-

грала.

6.Геометрические приложения определенного интеграла:

–площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах;

–площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически;

–площадь криволинейного сектора;

–длина дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах;

–длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде;

–длина дуги кривой, заданной в полярных координатах;

–вычисление объема тела по площадям параллельных сечений;

–объем тела вращения;

–площадь поверхности вращения.

7.Физические приложения определенного интеграла:

–работа переменной силы;

4

– путь, пройденный точкой;

– статические моменты и моменты инерции плоских дуг

ифигур;

–координаты центра тяжести.

Решение каждой задачи обязательно должен сопровождать схематический чертеж.

ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

x = ey −1; x = 0; y = ln 2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 4 2 cos3 t; y = 2 2 sin3 t; x = 2 (x ≥ 2).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ= 4cos3ϕ; ρ = 2 (ρ≥ 2).

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y= ln x; x 34 ; 2,4 .

5.Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

x =t −sin t; y =1−cost; 0 ≤t ≤ 2π.

5

6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

ρ=3e34ϕ; −π2 ≤ ϕ≤ π2 .

7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

z = 4e2 +9 y2 ; z = 6.

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y = −x2 +1; y = 0.

9. Найти площадь поверхности «веретена», которое получается в результате вращения одной полуволны синусоиды y =sin x

вокруг оси Ох.

10. Найти статические моменты относительно осей координат отрезка прямой линии ax + by =1, заключенного между осями коор-

динат.

11. Бесконечная прямая равномерно заряжена положительным электричеством (линейная плотность электричества равна σ). Найти силу, с которой действует эта прямая на единичный заряд, находящийся в точке А на расстоянии α от нее. Применить закон Ку-

лона F = k q1r2q2 .

6

Вариант 2

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x 9 − x2 ; y = 0; 0 ≤ x ≤3.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 2 cost; y = 2 2 sin t; y = 2 ( y ≥ 2).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= cos 2ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

z =9x2 +4 y2 ; z = 6.

10.Найти статические моменты прямоугольника со сторонами a и b относительно его сторон.

11.Найти силу, с которой полукольцо радиусом R и массой M действует на материальную точку массой m, находящуюся в его

центре. Использовать закон Ньютона F = k m1 2m2 . r

Вариант 3

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = 4 − x2 ; y = x2 −2x.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 4(t −sin t); y = 4(1−cost); y = 4; 0 ≤ x ≤8π ( y ≥ 4).

8

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

x = cos3 t; y =sin3 t; 0 ≤t ≤ π.

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

z = 2x2 +8y2 ; z = 4.

10.Найти статические моменты относительно осей Oх и Oу

икоординаты центра тяжести треугольника, ограниченного пря-

мыми: x + y = a, x =0, y = 0.

11.Тонкая однородная проволока массой М согнута в полуокружность радиусом R и вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через ее концы. Найти кинетическую энергию вращения.

Вариант 4

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = 4 − x2 ; y = 0; x = 0; x =1.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =16cos3 t; y = 2sin3 t; x = 2 (x ≥ 2).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ = 4sin 3ϕ; ρ = 2 (ρ≥ 2).

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = 2cost −cos 2t; y = 2sin t −sin 2t; 0 ≤t ≤ 2π.

10