
infoteh4part
.docxИНФОРМАЦИОННАЯ ТЕХНИКА. ЧАСТЬ 4.
Королев С.А.
каф. 2
Алгоритмы обработки информации
В ИИС реализуется множество алгоритмов обработки информации в соответствии с функциями системы, особенностями контролируемого объекта или процесса, с особенностями структуры системы.
Выделим следующие группы алгоритмов обработки информации:
Алгоритмы, связанные с централизацией выполнения определенных функций (выполнение одним устройством операций с сигналами от разных источников):
алгоритмы дискретизации во времени
алгоритмы массового обслуживания
алгоритмы сжатия информации
Алгоритмы повышения помехоустойчивости или нейтрализации влияния внешних факторов:
алгоритмы фильтрации
алгоритмы коррекции
алгоритмы стат. анализа (определение вероятностных характеристик, корреляционных функций, спектральных плоскостей и т.д.)
Алгоритмы восстановления значений сигналов и аппроксимации:
алгоритм восстановления дискретных сигналов (по отсчетам)
алгоритмы приближения
алгоритм оптимального обнаружения и различения сигналов
алгоритм обработки эмпирических (экспериментальных данных) зависимостей
Варианты задач обработки информации:
на непрерывном или дискретном множестве входных значений
ансамбль входных значений – во времени или в пространстве
в условиях шумов или нет
Нас прежде всего интересует информационный аспект реализации алгоритмов обработки информации (т.е. неоднозначность или погрешность преобразований), а не их техническая реализация.
Алгоритмы восстановления значений сигналов и аппроксимации
Различают следующие классы:
алгоритмы экстраполяции
алгоритмы интерполяции
алгоритмы приближения
Задачи 1. и 2. часто возникают при необходимости восстановления значений сигналов, теряемых вследствие их дискретизации. Использование для этих целей интерполяционных рядов Котельникова для ИИС реального времени неэффективно, но и даже невозмоно.
Экстраполяция
– исходный
сигнал.
– отсчеты
сигнала
Построение
прогноза значений сигнала
на
по отсчетам до момента времени
включительно. Простейший случай – по
одному отсчету
.
В этом случае используют экстраполяцию
нулевого порядка или 0 ступенчатую
экстраполяцию.
Считая
стационарным случайным процессом,
получим:
В конце интервала экстраполяции ошибка увеличивается и равна:
Рассмотрим случай, когда сигнал зашумлен, тогда (считаем шум аддитивным):
Оценка
средней по интервалу
дисперсии ошибки:
Для оптимизации экстраполяции зашумленного сигнала можно использовать алгоритм статистической экстраполяции по нескольким предыдущим отсчетам (т.е. как линейную функцию взвешенных отсчетов с шумом).
– неопределенные
коэффициенты, их следует определить из
условия минимизации СКО.
Тогда, считая шум центрированным и аддитивным:
Определение
- из минимизации
(по сути, это алгоритм оптимальной
фильтрации), т.е. из системы уравнений:
Оптимизация
по одному отсчету (
дает результат:
Следовательно,
Видно,
что экстраполированное значение всегда
ближе к среднему значению
.
Линейная экстраполяция по двум точкам
Рассмотрим задачу с шумом:
В конце интервала экстраполяции:
Т.к.
при
Если
при этом
,
то
Считаем,
Алгоритм интерполяции
Возможна
задача интерполяции по всем отсчетам
(массив отсчетов есть). Имеем отсчеты
сигнала
.
Оценка (восстановление) значений сигнала
на интервале
осуществляется в общем случае по
значениям всех отсчетов
,
причем в точках отсчетов
.
Применение алгоритмов интерполяции:
в ИИС реального времени – восстановление значений в по значениям отсчетов
– используется запаздывание на шаг.
в системах идентификации пространств распределенных объектов или полей, например:
поле энерговыделения
таблицы параметров воды/пара
Простейшие алгоритмы интерполяций для ИИС
- линейная интерполяция
Ошибка восстановления значений сигнала:
Для середины интервала интерполяции:
Если
то
Алгоритмы интерполяции, требующие использования вычислительных средств.
Сплайн-интерполяция
Сплайн
представляет собой функции, склеенные
из различных кусков многочленов по
заданному базису. Если в качестве
базисных функций выбрать функции вида:
1,
то сплайны полиномиальные.
Преимущества: простота реализации и устойчивость к локальным возмущениям.
Функцию
называют полиномиальным сплайном
дефекта
,
если на отрезках между соседними узлами
она принадлежит множеству полиномов
степени не выше
и имеет на заданной области изменения
непрерывные производные порядка, не
ниже
.
Обычно
используют сплайны с
.
Для задач интерполяции удобно использовать
сплайны нечетных степеней. Сплайн первой
степени реализует кусочно-линейную
интерполяцию. Кубический сплайн при
обеспечивает непрерывность второй
производной на отрезке
и находится решением системы линейных
алгебраических уравнений.
Задана сетка (равномерная) на отрезке .
– исходная
интерполируемая функция на сетке
Обозначим
- вторая производная в точке
.
Она линейна на
,
тогда:
Далее:
интегрируем это выражение дважды на отрезке ;
то же самое выполним на отрезке
;
учтем требование для кубического сплайна:
.
После двукратного интегрирования на отрезке получаем:
Полагая
,
находим
Следовательно,
на отрезке
с учетом граничных условий. Получаем
систему
алгебраических уравнений относительно
неизвестных
.
Рассмотрим
функцию
.
Введем определения:
-
первая
нисходящая разность
-
первая
восходящая разность
– вторая
разность
(порядка два)
– первая
разделенная разность
-
вторая
разделенная разность
где
– вторая разделенная разность функции
на точках
.
Целесообразность использования сплайнов
При наличии большого количества точек-отсчетов при построении единого интерполирующего полинома потребуется использовать полиномы/многочлены больших степеней, что очень неудобно для вычислений, а также приводит к большой чувствительности решения к возмущениям.
Сплайн
аппроксимация позволяет использовать
много полиномов с небольшими степенями,
обычно
или
.
Другие алгоритмы интерполяции (по формулам Лагранжа, Ньютона, Бесселя и т.д.) используются редко и только в системах обработки информации в объемах с распределенными параметрами.
Алгоритмы аппроксимации на принципах приближения
Применение:
Аналитическая градуировка датчиков;
Идентификация характеристик сигналов/ объектов управления/ контроля/ ИС;
Выявление эмпирических зависимостей;
Оценка значений параметров по косвенным измерениям.
Предметом аппроксимации могут быть как непрерывные сигналы или характеристики, так и дискретные наборы данных или отсчетов.
Особые классы задач связаны с аппроксимацией зашумленных данных.
Аппроксимирующие функции
Чаще всего в качестве аппроксимирующих функций используют либо степенные полиномы, либо полиномы, состоящие из ортогональных функций. Использование степенных полиномов:
Для
идентификации коэффициентов полинома
степени
необходимо знать значения в
точке. Если число точек (т.е. значений
)
совпадает со степенью полинома
,
то задача – однозначная, и по сути
получаем интерполирующий полином. Если
степень меньше, то коэффициенты необходимо
определять исходя из минимизации ошибки
аппроксимации.
Т.е. система уравнений должна быть:
Решение
относительно
дает возможность определить аппроксимирующую
функцию. Особенностью аппроксимации
степенными полиномами является
зависимость
от всех значений функции и точек
,
поэтому при изменении набора данных
приходится все пересчитывать.
Аппроксимация полиномами, состоящими из ортогональных функций
где
– ортогональные функции. Для них при
:
где
- аппроксимируемая функция. Коэффициент
зависит только от функции
и может быть найден независимо от других
коэффициентов.
Критерии точности аппроксимации
Среднеквадратичный критерий:
Равномерный критерий:
Оценки на дискретных множествах:
При аппроксимации ортогональными полиномами коэффициенты будут оптимальны с точки зрения минимума квадратичного критерия. В качестве аппроксимирующих многочленов, состоящих из ортогональных функций, могут быть использованы ряды Фурье, классические ортогональные многочлены, многочлены, построенные на функциях Уолсиа и другие.
Классические ортогональные многочлены
Классические ортогональные многочлены – это многочлены Чебышева, Эрмита, Лежандра, Лагерра и т.д.
Ортогональные полиномы Лежандра
|
ортогональны
на отрезке
|
Ортогональные полиномы Чебышева первого рода
Ортогональность
на
с
|
Все
экстремумы равны
|
Ортонормированные многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева с единичным старшим коэффициентом
Нули многочленов Чебышева первого рода:
Экстремумы многочленов Чебышева первого рода:
Смещенные многочлены Чебышева
на
отрезке
- те же свойства.
Многочлены Чебышева второго рода
С единичным старшим коэффициентом:
Равномерные приближения
Аппроксимирующие полиномы, рассчитанные по МНК (отрезки рядов Фурье для ортогональных многочленов) в отдельных точках или областях могут давать ошибки, превышающие доступные. Аппроксимация по МНК применима для обработки результатов наблюдения, т.к. позволяет сглаживать локальные ошибки или шумы в отсчетах (например, аналитическая градуировка датчиков).
Однако в ряде задач ИИС необходимо гарантировать, чтобы ошибка не превышала ошибки от заданной величины, т.е. по норме:
где
аппроксимирующая функция
– полином степени
Если
,
то говорят, что полином
равномерно приближает
на отрезке
с точностью
.
Если
степень
задана, то ставится задача выбора
коэффициентов полинома
так, чтобы
,
т.е.
,
где
– наименьшее отклонение функции, а сам
полином при этом – полином наилучшего
равномерного приближения – ПНРП.
Теорема Чебышева:
Для того, чтобы полином
был
ПНРП
на отрезке
,
необходимо и достаточно, чтобы на отрезке
нашлись (
)
точки, в которых разность
последовательно
чередуясь, принимает свои максимальные
и минимальные значения, по модулю равные
.
Такая система точек называется Чебышевский
альтернанс.
Если
на отрезке
,
то полином, дающий минимум величине
есть полином, наименее уклоняющийся от нуля, или является полиномом Чебышева первого рода.
Теорема: Полином Чебышева степени с единичным старшим коэффициентом наименее отклоняется от нуля на отрезке по сравнению с другими полиномами того же класса, т.е.:
Пример:
для функции
полиномом НРП степени
на отрезке является полином:
Отрезок , замена переменной
Старший
коэффициент при
будет равен
,
т.е.
Тогда:
Пример:
равномерно приблизить на отрезке
с помощью полинома первого порядка
функцию
Решение: смещенный полином Чебышева первого рода второго порядка наименее уклоняется от нуля на отрезке . Следовательно,
Т.е.:
Причем максимальное отклонение при этом:
И
достигается в трех точках (
):
,
чередуясь
.
Вариант методики построения ПНРП
-
Чебышевский
альтернанс
;
число точек альтернанса равно
Возьмем
Неизвестные:
Имеем систему: