Список вопросов на экзамен

1. Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Совместные и несовместные события.

Событие A, которое при реализации комплекса условий P может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

2. Классическое определение вероятности.

3. Геометрические вероятности. Задача о встречи. Парадокс Бертрана.

4. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Основные следствия из аксиом. Теорема сложения вероятностей.

5. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Зависимые и независимые события. Независимость событий в совокупности.

6. Формулы полной вероятности и Байеса.

7. Случайные величины. Функции распределения с.в. и их свойства.

8. Системы дискретных с.в. Законы распределения отдельных с.в., входящих в систему. Условные законы распределения. Независимость случайных величин.

9. Дискретные с.в. Ряд распределения. Числовые характеристики дискретных с.в. Функции от дискретных с.в.

Случайная величина называется дискретной, если множество её возможных значений конечно или счётно.

Простейшей формой закона распределения дискретной с.в. с конечным множеством

значений является ряд распределения, который задаётся аналитически или с помощью

таблицы.

10. Непрерывные с.в. Свойства плотности распределения. Числовые характеристики непрерывных с.в.

11. Основные свойства математического ожидания с.в.

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, то есть М(С)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то есть М(СХ) = СМ(Х).

3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть М(Х+У) = М(Х) + М(У).

4) Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, то есть М(Х- М(Х)) =0.

5) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то есть .

12. Основные свойства дисперсий с.в.

13. Формулы для выражения центральных моментов через начальные.

14. Числовые характеристики систем с.в. Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства. Независимость и некоррелированность с.в.

15. Схема Бернулли. Биномиальное распределение с.в. и его свойства.

Вероятность того, что в независимых испытаниях некоторое случайное событие наступит ровно раз, равна:

16. Распределение Пуассона (закон редких явлений) и его свойства.

Если количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в отдельно взятом испытании весьма мала (0,05-0,1 и меньше), то вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно раз, можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:

(формула имеет смысл и для )

17. Нормальное распределение, его числовые характеристики. Асиметрия и эксцесс.

18. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной с.в. в интервал. Правило трех сигм.

http://mathprofi.ru/lokalnaja_i_integralnaja_teoremy_laplasa.html

19. Равномерное распределение с.в. и его свойства.

20. Нормальное распределение на плоскости и его свойства. Некоррелированность и независимость с.в.

21. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.

22. Центральная предельная теорема и следствия их нее.

23. Квантили. Распределение хи-квадрат, Стьюдента и Фишера.

24. Предмет математической статистики. Основные понятия: генеральная совокупность, выборка, гистограмма, функция правдоподобия, статистика.

25. Оценки параметров распределения генеральной совокупности, их свойства: несмещенность, состоятельность.

26. Несмещенная оценка дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности при известном математическом ожидании.

27. Несмещенная оценка дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном математическом ожидании.

28. Несмещенная оценка математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности.

29. Состоятельность оценок. Примеры состоятельных оценок. Пример состоятельной, но смещенной оценки.

30. Метод моментов. ММ-оценки параметров равномерного распределения.

31. Метод максимального правдоподобия. МП-оценки параметров нормально распределенной генеральной совокупности.

32. Метод максимального правдоподобия. МП-оценки параметров распределения Пуассона.

33. Распределения выборочного среднего и дисперсии из нормально распределенной генеральной совокупности.

34. Доверительные интервалы. Доверительный интервал для среднего нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии.

35. Распределение Стьюдента. Доверительный интервал для среднего нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

36. Распределение хи-квадрат. Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

37. Доверительный интервал для разности средних двух независимых нормально распределенных генеральных совокупностей при известных дисперсиях.

38. Доверительный интервал для разности средних двух независимых нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных дисперсиях.

39. Распределение Фишера. Доверительный интервал для частного дисперсий двух независимых нормально распределенных генеральных совокупностей.

40. Проверка статистических гипотез. Выборочное пространство. Критическая область. Критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Простые и сложные гипотезы.

41. Проверка гипотез о равенстве среднего нормально распределенной генеральной совокупности конкретному значению.

42. Проверка гипотез о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности конкретному значению.

43. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух независимых нормально распределенных генеральных совокупностей.

44. Проверка гипотез о равенстве средних двух независимых нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных, но равных дисперсиях.

45. Проверка гипотез о равенстве средних двух независимых нормально распределенных генеральных совокупностей при известных дисперсиях.

46. Критерий согласия хи-квадрат.

47. Линейный регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов. Ранговая корреляция по Спирману.

48. Подбор линеаризующего преобразования. Примеры постановок экономических задач, решаемых с помощью метода наименьших квадратов.

СПИСОК ФОРМУЛ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ И СВОЙСТВ ДЛЯ ДОПУСКА К ЭКЗАМЕНУ:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. независимых событий: В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого

2. несовместных событий: События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событи

3. независимых с.в.: две случайные величины называют независимыми, если известное значение одной из них не дает информации о другой.

4. функции распределения с.в.,

5. плотности распределения,

6. распределений хи-квадрат,

7. распределения Стьюдента,

8. распределения Фишера,

9. распределений биномиального, Пуассона, геометрического, нормального, равномерного.

ФОРМУЛЫ:

для числа сочетаний и перестановок с повторениями и без повторений

математического ожидания,

дисперсии,

коэффициентов корреляции,

асимметрии,

эксцесса,

ковариации,

сложения вероятностей,

полной вероятности,

Байесса,

условной вероятности,

плотностей нормального распределения на плоскости, нормального и равномерного распределений.

ВЫРАЖЕНИЯ: для математического ожидания и дисперсий основных законов распределения: нормального, равномерного, биномиального, Пуассона, геометрического.

СВОЙСТВА: математического ожидания, дисперсии, коэффициента корреляции, функции Лапласа, функции распределения с.в., плотности распределения с.в.

Экзаменационный билет «Тренировочный»

1.Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Совместные и несовместные события (6 баллов)

2. Доверительные интервалы. Доверительный интервал для среднего нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии (8 баллов)

3. Определение функции Лапласа (6 балла)

4. Определение равномерного распределения (3 балла)

5. Формула для числа перестановок без повторений (3 балла)

6. Формула Байеса (3 балла)

7. Свойства функции распределения с.в. (3 балла)

8. Выражения для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения с.в. (3 балла)

9. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый. (3 балла)

10. Какая точечная оценка параметра называется несмещённой? (3 балла)

11. Дан ряд распределения случайной величины дискретного типа Х:

X	– 2	– 1	1	3
P	0,3	0,1		0,4

Найдите моду и дисперсию случайной величины X (4 балла)

10