БДЗ №3 статистика

Задача 6.6 (вариант 9)

Дана выборка объёма 50:

9,1518; 4,6896; 6,0666; 3,4851; 8,7662; 2,2460; 2,8043; 1,0164; 6,1235; 4,1296; 6,7106; 5,3192; 2,0110; 4,8816; 5,8512; 5,9232; 5,3917; 3,9431; 4,0934; 6,4568; 0,1905; 8,0841; 4,4240; 5,4651; 7,3941; 5,2865; 4,6804; 2,3371; 5,0933; 5,0341; 3,8328; 3,2068; 8,7242; 0,8511; 4,0019; 8,2906; 6,8500; 3,9099; 5,4195; 5,0966; 5,7516; 0,7536; 5,5347; 2,4576; 2,1283; 6,6100; 5,7379; 3,9358; 2,7130; 6,1857

Разобьем отсортированную выборку на семь интервалов с шагом h=1,29:

Начало интервала	Конец интервала	Середина интервала	Частота	Плотность частоты	Относительные частоты
0,1562	1,4462	0,8012	4	3,1	0,08
1,4462	2,7362	2,0912	6	4,65	0,12
2,7362	4,0262	3,3812	8	6,2	0,16
4,0262	5,3162	4,6712	10	7,75	0,2
5,3162	6,6062	5,9612	13	10,08	0,26
6,6062	7,8962	7,2512	4	3,1	0,08
7,8962	9,1862	8,5412	5	3,88	0,1

На основе полученных данных построим гистограмму и полигон частот, а также эмпирическую функцию:

Найдем оценки для математического ожидания, дисперсии, медианы и моды. Рассчитываем по следующим формулам:

где n – объем выборки, x_i – середина i-го интервала группировки, n_i – число элементов выборки в этом интервале; k – число интервалов (разрядов) в группировке.

Мода d оценивается по группировкам данных по следующей формуле:

где a_t – нижняя граница t-го интервала, содержащего наибольшее число элементов выборки; n_t – число элементов выборки в этом интервале; h_t – его длина; n_t–1 и n_t+1 – числа элементов выборки в соседних с ним интервалах.

Для группированной выборки медиана m_s оценивается по следующей формуле:

где а_j – нижняя граница j-го интервала, содержащего середину вариационного ряда; n_j – число элементов выборки в этом интервале; – сумма элементов выборки в разрядах, лежащих слева от этого разряда; h_j – длина jго разряда.

Для удобства расчетов воспользуемся excel и получим следующие оценки числовых характеристик:

				медиана	мода
4,7744	4,71539	4,811626	2,19354	4,9292	5,6387

Доверительный интервал для математического ожидания находим по формуле:

,

где n=50, S — исправленное среднее квадратичное отклонение, t — коэффициент доверия рассчитывается по таблице значений распределения Стьюдента. Подставляя в формулу ранее вычисленные значения, находим доверительные интервалы для математического ожидания исследуемой генеральной совокупности:

4,15113 < m < 5,39757

Доверительный интервал для дисперсии находим по следующей формуле:

Подставив в формулу необходимые значения, получим следующие доверительные интервалы для дисперсии исследуемой генеральной совокупности:

3,3576 < D < 7,4705

С помощью построенных доверительных интервалов проверим гипотезы:

, где

, где

5,06704 попадает в интервал, гипотезу можно принять.

6,80467 попадает в интервал, гипотезу можно принять.

Задача 6.20 (вариант 9)

Последовательность статистической обработки результатов наблюдений двумерной генеральной совокупности проиллюстрируем на примере парной выборки (xi; yi):

X	Y
–2,11	–6,06
9,28	1,27
5,06	9,80
12,19	10,91
3,87	5,98
4,40	6,14
5,31	6,19
4,56	1,35
8,46	5,47
5,74	5,05
4,97	1,02
7,73	4,30
12,60	19,29
–1,05	–0,02
9,89	5,82
10,18	10,82
6,34	2,63
5,21	0,61
3,57	3,33
8,05	12,66
9,55	10,86
2,07	5,50
6,88	3,00
4,50	3,45
–2,20	–2,45

X	Y
6,09	2,04
5,94	1,46
5,71	10,23
12,72	13,56
4,81	3,03
10,44	14,46
12,76	14,49
8,99	5,83
4,83	10,99
2,58	4,54
10,75	17,46
–1,32	4,04
–0,44	–2,38
13,09	8,72
6,85	7,36
2,92	2,40
0,47	–2,11
6,40	9,19
–0,25	6,51
4,76	3,38
2,81	0,23
5,97	5,78
6,97	10,42
–2,64	–5,26
8,82	4,82

Построим для двумерного случайного вектора диаграмму рассеивания. Для этого выберем удобные длины интервалов. Значения первой координаты Х заключены в промежутке [-2,64;13,9], удобно взять интервалы длиной h=2 на промежутке [-2,8;13,2], получив восемь интервалов. Вторая координата У изменяется от -6,06 до 19,29, с размахом 25,35, где ближайшее число кратное 8 — 25,6. Тогда длина интервала h=3,2, удобно взять промежуток [-6,2;19,4]. Получаем такие значения интервалов:

для У			для Х
-6,2	-3	-2,8		-0,8
-3	0,2	-0,8		1,2
0,2	3,4	1,2		3,2
3,4	6,6	3,2		5,2
6,6	9,8	5,2		7,2
9,8	13	7,2		9,2
13	16,2	9,2		11,2
16,2	19,4	11,2		13,2

Составим диаграмму рассеивания:

Полученные границы интервалов нанесем на оси диаграммы рассеивания, таким образом, диаграмма разобьется на прямоугольники. Составим таблицу частот опираясь на число точек, попавших в каждый из них:

yi	xi
	-1,8	0,2	2,2	4,2	6,2	8,2	10,2	12,2
-4,6	2
-1,4	2	2
1,8			2	5	5		1
5	1	1	2	3	3	4	1
8,2				1	2			1
11,4				1	2	1	2	1
14,6							1	2
17,8							1	1

Найдем медианы по каждой координате, используя формулу медианы или найдя среднее арифметическое между 25-м и 26-м значением в отсортированной выборке. Получаем две прямые х=5,725 и у=5,26 и разделим диаграмму на четыре квадранта. О наличии зависимости делаем вывод по числу точек в квадрантах k=8 и m=17. По табл.2 критических значений для определения квадрантной корреляции с достоверностью 0,95 можно утверждать о наличии положительной корреляции между Х и У

Проведем оценку параметров двумерного вектора. Оценим математические ожидания m_x и m_y, дисперсии D_x и D_y случайных величин X и Y, а также коэффициент корреляции ρ.

Числовые характеристики вектора (X, Y)

5,6	5,512	16,53	28,57	4,066	5,345	0,719

Проведем оценку коэффициентов уравнений линейной регрессии X по Y и Y по X. Формулы, по которым производится оценка коэффициентов уравнений линейной регрессии

;

,

имеют следующий вид:

; ;

; .

Составим уравнения линейных регрессий, используя числовые характеристики вектора:

У по Х: у=0,22+0,945*х

Х по У: х=2,587+0,547*у

Доверительный интервал для ρ нашли по рисунку 2.3, проведя вертикаль ρ=0,719:

0,48 < ρ < 0,81.

Интервал не содержит нуля, следовательно, с доверительной вероятностью P=1–α=0,95, существует линейная положительная корреляция между X и Y. Исследуемый коэффициент 0,8 лежит в доверительном интервале, гипотезу принимаем.