индивидуальная работа / индивидуальная работа Моделирование экономических процессов

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Моделирование экономических процессов»

РЕШЕНИЕ

Построим экономико-математическую модель задачи. Обозначим за переменные земли разной степени эродированности из i-ых культур в j-земли. (рис.1).

Рис. 1 – Экономико-математическая модель

Проверим условие баланса. Находим сумму площадей культур и площадей земель. Площади культур: 340 + 560 + 510 + 360 + 340 = 2110. Площади земель: 1000 + 700 + 210 + 80 + 120 = 2110. Сумма площадей культур равна сумме площадей земель – модель задачи закрытая.

Составим ограничения. Первая группа ограничений по культурам:

1. X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ + X₁₅ = 340

2. X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ + X₂₅ = 560

3. X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ + X₃₅ = 510

4. X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ + X₄₄ + X₄₅ = 360

5. X₅₁ + X₅₂ + X₅₃ + X₅₄ + X₅₅ = 340

Вторая группа ограничений по землям:

6. X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ + X₅₁ = 1000

7. X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ + X₅₂ = 700

8. X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ + X₅₃ = 210

9. X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ + X₄₄ + X₅₄ = 80

10. X₁₅ + X₂₅ + X₃₅ + X₄₅ + X₅₅ = 120

Так как критерий оптимальности – интенсивность смыва почвы при размещении на землях определенной категории, то целевая функция примет вид:

Z = 1,8X₁₁ + 4,7X₁₂ + 10,2X₁₃ + 30,5X₁₄ + 61,4X₁₅ + 2,4X₂₁ + 6,3X₂₂ + 12X₂₃ + 34X₂₄ + 64X₂₅ + 0,2X₃₁ + 0,8X₃₂ + 2,4X₃₃ + 4,8X₃₄ + 6,4X₃₅ + 2,3X₄₁ + 6,3X₄₂ + 11,8X₄₃ + 33,5X₄₄ + 64X₄₅ + 3,8X₅₁ + 10X₅₂ + 30X₅₃ + 60X₅₄ + 80X₅₅.

МЕТОД НАИМЕНЬШЕГО ЭЛЕМЕНТА

Составим первый опорный план методом наименьшего элемента.

Суть этого метода – на каждом шаге алгоритма поиска опорного решения стараться занять максимально возможным ресурсом прежде всего клетки, в которых лежат наименьшее значение Cij (рис.2).

Рис. 2 – Метод наименьшего элемента

При использовании метода наименьшего элемента было получено следующее опорное решение: X11 =340, X22=560, X31 =510, X41=150, X42=140, X43=70, X53=140, X54=80, X55=120.

Найдем значение целевой функции:

Z=340*1,8+560*6,3+510*0,2+150*2,3+140*6,3+70*11,8+140*30+60*80+120*80=22495

Проверим решение по количеству занятых клеток:

Кзан = 9; (m+n-1) = (5+5-1) = 9

Кзан = (m+n-1) → решение базисное, невырожденное.

МЕТОД ФОГЕЛЯ

Далее составим опорный план методом Фогеля.

Суть метода заключается в том, что на каждом шаге выбор очередной клетки, заполняемой ресурсом, осуществляется не на основании оценки строго локальных оценок стоимостей Cij, а на основе расчетов штрафов, позволяющих приближенно оценивать полезность данного шага с точки зрения скорейшего приближения к оптимальному решению с учетом состояния таблицы на следующем шаге.

Применение метода аппроксимации Фогеля позволяет получить либо опорный план, близкий к оптимальнму, либо сам оптимальный план (рис. 3).

Рис. 3– Метод Фогеля

При использовании метода Фогеля было получено следующее опорное решение: X21 =300, X41=360, X51=340, X12=340, X22=260, X23=100, X33=210, X34=80, X35=120.

Найдем значение целевой функции:

Z=300*2,4+360*2,3+340*3,8+340*4,7+260*6,3+100*0,8+210*2,4+80*4,8+120*6,4=7812

Так же, как и в методе наименьшего элемента, проверим решение по количеству занятых клеток:

Кзан = 9;

(m+n-1) = (5+5-1) = 9

Кзан =(m+n-1) → решение базисное, невырожденное.

Если сравнить значения целевых функций в опорных планах, полученных методом наименьшего элемента и методом Фогеля, можно увидеть, что меньшее из них соответствует методу Фогеля и равно 7812. Следовательно, можно сделать вывод о том, что решение, полученное методом Фогеля, ближе к оптимальному.

МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ

Проверим решение, полученное методом Фогеля, на оптимальность. Для этого используем метод потенциалов (рис. 4).

2,3

Рис. 4 – Метод потенциалов

В случаи минимализации целевой функции решение оптимально, если все оценки незанятых клеток удовлетворяют условию неотрицательности.

Так как все оценки незанятых клеток имеют положительные значения, делаем вывод об оптимальности решения, полученного Фогеля.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В ПП MS EXCEL

Сделаем проверку, решив задачу в ПП MS Excel.

Для начала заполняем две таблицы: «Матрица культур» и «Матрица распределения земель» (рис.5).

Рис. 5 – Матрица культур и Матрица распределения земель

Заполняем «Расчетную матрицу». Для этого копируем «Матрицу распределения земель», не захватывая строку и столбец Всего. В каждой ячейке удаляем единицу и находим значение, умножая озимую пшеницу из «Матрицы культур»» на озимую пшеницу из «Матрицы распределения земель» (рис.6).

Рис. 6 – Расчетная матрица

Для того, чтобы найти оптимальное решение, выделяем ячейку Н33 и заполняем «Параметры поиска решений» (рис. 7).

Рис. 7 – Параметры поиска решений

В результате мы получаем следующее решение (рис. 8).

Рис. 8 – Результат решений

Согласно полученным данным, оптимум составил 7812. Такое же значение мы получили с помощью метода Фогеля.

Оптимальное решение:

300*Х₂₁+340*Х₁₂+260*Х₂₂+100Х₃₂+210*Х₃₃+80*Х₃₄+120*Х₃₅+360*Х₄₁+340*Х₅₁=7812