3.2. Преобразование задач из одной формы в другую

1. изменение направления оптимизации. Если заданную целевую функцию требуется минимизировать, то можно перейти к максимизации: .

2. переход от неравенства к равенству с помощью балансовых переменных переходим к равенству

,

или

переходим к равенству,. Те переменные, которые форму в исходное задание – управляемые.

3. переход от равенств к неравенствам.

заменяем

Если много равенств, то такой прямой подход будет невыгоден: если m– огромное, то получаем 2m– ограничений. Поэтому на практике делают так: систему изmравенств можно заменить на систему из (m+1) неравенств, в которой первыеnнеравенств совпадают с исходными равенствами с измененным знаком, а последнее:

,

(суммируя соответствующие переменные)

4. переход от переменных не ограниченных в знаке к неотрицательным переменным.

В канонической, симметричной формах вектор коэффициентов должен быть неотрицательным, поэтому возникает эта задача, если - не ограничено в знаке.,,

Всегда переменную, неограниченную в знаке, можно заменить разностью неотрицательных переменных.

Но при nпеременных, неограниченных в знаке, значительно увеличивается количество новых переменных: 2n. Пусть имеетсяnнеограниченных в знаке переменных, их можно заменить на (n+1) неотрицательных переменных.

,

,,

5. переход от переменных, ограниченных снизу к неотрицательным переменным.

- вводим балансовую переменную, тем самым мы заменяем на неотрицательную.

3.3. Графическая интерпретация задач линейного программирования

Теорема. Экстремум целевой функции в задаче линейного программирования (если он существует) всегда является абсолютным и достигается хотя бы в одой крайней точке многогранника, являющегося областью определения[4].

Пример.

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение:

Заштрихованная часть ABCDбудет областью допустимых решений, определенной ограничениями задачи. Крайние точки полученной выпуклой многогранной области будут соответствовать допустимым базисным решениям задачи.

Значение целевой функции F(x)=0,5x₁+2x₂можно определить в любой точке

X=(x₁,x₂) области допустимых решений. Прямая линия, перпендикулярная векторуn=(0,5;2), будет геометрическим местом точек Х=(x₁,x₂), в которых целевая функция принимает одинаковые фиксированные значения.

Вектор nпоказывает направление параллельного перемещения прямой, соответствующее увеличению целевой функции.

Максимального значения целевая функция достигает в крайней точке С многогранника, являющегося областью допустимых решений задачи. Координаты точки С оптимальным решением задачи и могут быть найдены при решении системы уравнений:

Следовательно, ;Z(X_опт)=10.

При решении задачи линейного программирования графическим вариантом возможен один из следующих случаев:

1. единственное решение рассмотрено выше;

2. множество оптимальных решений (альтернативный оптимум). Ситуация возникает, когда вектор нормали nокажется перпендикулярен соответствующей грани области допустимых решений.

3. целевая функция неограниченна

4. пустое множество решений при несовместности системы ограничений