Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Пример

Задание. Доказать, что последовательность не имеет предел.

Доказательство. Пусть - предел рассматриваемой последовательности, то есть . Рассмотрим 

Пусть :

Пусть :

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательностьимеет предел, равный числу : 

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность имеет бесконечный предел, если для любого 

Последовательность называется бесконечно малой, если 

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого существует номер такое, что для любого 

Теорема

Пусть , тогда

а) ;

б) ;

в) если , то начиная с некоторого номера заданная последовательность