4 Вопрос. Возведение в степень и извлечение корня комплексного числа. Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возводить в натуральную степень , если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.

Пусть число , тогда умножая его само на себя раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень ), получим:

Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

Если , то получаем, что

Данная формула называется формулой Муавра.

Извлечение корня из комплексного числа

Корнем -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра:

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

5 Вопрос. Комплексная степень числа е.

Пусть - некоторое комплексное число. По определению полагают, что

Если число - действительное, то есть , то

Если число - чисто мнимое, то есть , то

.

6 вопрос. Числовые последовательности. Основные способы задания последовательностей. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Понятие числовой последовательности

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество : 

Элемент называется первым членом последовательности, - вторым, ... , - -ым или общим членом последовательности.

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что , то есть и так далее до нужного члена.

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения надо найти все предыдущие 499 членов.