Вопрос 26!!! Производная по направлению. Градиент. Свойства.
Пусть
в некоторой области 
задана
функция 
и
точка 
.
Проведем из точки 
вектор 
,
направляющие косинусы которого 
.
На векторе 
,
на расстоянии 
от
его начала рассмотрим точку 
,
т.е. 
.
Будем
предполагать, что функция 
и
ее частные производные первого порядка
непрерывны в области 
.
Предел
отношения 
при 
называется производной
от функции 
в
точке 
по
направлению вектора 
и
обозначается 
,
т.е.
.
Для
нахождения производной от функции
в
заданной точке 
по
направлению вектора 
используют
формулу: 
,
где 
–
направляющие косинусы вектора 
,
которые вычисляются по формулам:
.
Пусть
в каждой точке некоторой области 
задана
функция 
.
Вектор,
проекциями которого на оси координат
являются значения частных производных
этой функции в соответствующей точке,
называется градиентом
функции 
и
обозначается 
или 
(читается
«набла у»): 
.
При
этом говорят, что в области 
определено
векторное поле градиентов.
Для
нахождения градиента функции 
в
заданной точке 
используют
формулу:
.
Свойства градиента
1. Производная
в данной точке по направлению
вектора 
имеет
наибольшее значение, если направление
вектора 
совпадает
с направлением градиента. Это наибольшее
значение производной равно 
.
2. Производная
по направлению вектора, перпендикулярного
к вектору 
,
равна нулю.