Билеты по математике / Билет 19
.pdf
19
В геометрии мы познакомились с каноническими уравнениями параболы 
,
эллипса 
, гиперболы 
,
используя метод координат в соединении с алгеброй. Этот раздел геометрии называется аналитической геометрией. Ее создателями являются знаменитые французские ученые Рене Декарт (1596 – 1650) и Пьер Ферма (1601 – 1665).
Эллипс, гипербола и парабола имеют много общих или очень похожих свойств.
Сформулируем и докажем общее утверждение: Множество точек М, отношение расстояний которых до прямой l и точки F, где 
, равно постоянному числу k, есть:
эллипс – при 
;
гипербола – при 
;
парабола – при 
.
Доказательство. Введем систему координат, F(0;h)
Oy, l||Ox.
По определению уравнение множества точек М имеет вид
(*)
Пусть |
, тогда уравнение (*) примет вид |
, где |
далее |
|
|
- парабола.
Пусть 
. В этом
случае
Имеем |
; |
Получили:
. Положим |
. |
Получим:
эллипс при 
:
гипербола при 
: ;
Сравним уравнения (2) и (3) с каноническими уравнениями эллипса и гиперболы.
Вопрос: Какое преобразование переводит уравнения (2) и (3) в (1)?
Ответ: Преобразование параллельного переноса, а в уравнении гиперболы еще необходимо поменять х на у.
Интегрирование тригонометрических выражений
Интегрирование тригонометрических выражений
1. Интегралы от произведений синуса и косинуса разных аргументов.
sin mx cos nx dx,
sin mx sin nx dx,
cos mx cos nx dx.
Данные интегралы сводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения в сумму:
sin cos =1/2(sin( - )+sin( + )), sin sin =1/2(cos( - )-cos( + )), cos cos =1/2(cos( - )+cos( + )).
Пример.
=
2. Интегралы от степеней синуса и косинуса одного аргумента.
sinm x cosn x dx.
1)Если хотя бы одно из чисел m и n нечетно, то от нечетной степени отделяют один сомножитель и вносят его под знак дифференциала. Подынтегральную функцию приводят к одной из тригонометрических функций.
Пример. sin5x cos4x dx = sin4x cos4x sin x dx =
= - (1-cos2x)2cos4x d(cosx) = - cos4x d(cosx) + 2 cos6x d(cosx) -
- cos8x d(cosx) = 
.
2) Обе степени четные. В этом случае применяют формулы понижения степени
, 
, 
,
до тех пор, пока не появятся нечетные степени тригонометрических функций.
3. Интегралы от рациональной функции, содержащей синус и косинус.
Рассмотрим интеграл вида
.
Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой
Пример.
=