Билеты по математике / Билет 21

21

Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярномупроизведению векторана векторное произведениеивекторов.Смешанное произведение обозначается.

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарныхравенкторов

объему параллелепипеда,построенного на этих векторах.

Произведение положительно, если тройка векто— праовая, и отрицательно, если тройка— левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда

векторы компланарны:

векторы компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное

произведение: , где— угол между векторами.

Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) ра

Поэтому модуль смешанного произведения равенэтогобъемупараллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком. Есликосинуса угла

плоскости векторови ). В каждом случае векткомпланарнырысм.( разд).. 1.1

Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение измен противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное п изменяется:

2. Смешанноепроизведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойст векторовсм.( разд1.9),. поскольку от перестановки двух множителей модуль произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки.

перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейностиизведенияскалярногои свойствапро 1.

Схема исследования функции

1.Область определения

2.Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области

определения выполнено равенство , то – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения

выполнено равенство , то – нечетная функция; в противном случае, – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения с осью ОХ: , где – решение уравнения .

Точки пересечения с осью ОY: .

4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция

принимает положительные или отрицательные значения, т.е. или .

5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба

Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить

односторонние пределы: и . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота.

При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . Для этого нужно вычислить следующие

9. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема всюду на этом отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек. Пусть, кроме

того, производная отлична от нуля всюду на отрезке [a;b] за исключением, быть может, конечного числа точек. Эти предположения означают, что на отрезке [a;b] может содержаться лишь конечное число критических точек

функции . Поставим задачу об отыскании максимального и минимального

значений функции на отрезке [a;b]. Поскольку функция непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего максимального и своего минимального значения. Каждое из этих значений может достигаться либо во внутренней точке отрезка [a;b] (очевидно, что в таком случае оно совпадает с одним из локальных экстремумов), либо на одном из концов этого отрезка. Отсюда следует, что для нахождения

наибольшего и наименьшего значений функции на

отрезке [a;b] достаточно сравнить между собой значения этой функции во всех точках локального экстремума и в граничных точках отрезка (в точках a и b) и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Для этого нужно исследовать все критические точки на наличие экстремума и для тех критических точек, которые являются точками экстремума, вычислить значение

функции . Если же исследование критических точек на наличие экстремума окажется затруднительным, можно просто вычислить значения

функции во всех критических точках и в граничных точках и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Отметим, что если

функция имеет на отрезке [a;b] лишь одну критическую точку и эта точка является точкой локального максимума (минимума), то можно сразу, не сравнивая значение функции в этой точке с её значениями на концах отрезка, сделать вывод, что это значение является наибольшим (наименьшим) значением

функции на отрезке [a;b].