Билеты по математике / Билет 24

24

Кривые второго порядка: окружность, эллипс

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)2 + (y - b)2 = r2,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x2 + y2 = r2.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a2 - b2 = c2.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

Подведение под знак дифференциала — метод интегрирования, который используется достаточно часто.

Технически подведение под знак дифференциала и замена переменной — один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла. Отличие — в оформлении.

Подведение под знак интеграла опирается на III правило интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала:

Рассмотрим интегрирование подведением под знак дифференциала на примерах.

Под знаком интеграла стоит произведение

Поскольку

Не хватает только минуса. Его получаем, умножив на -1 подынтегральную функцию и одновременно вынося минус за знак интеграла.

Очень часто подведение под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

Нахождение таких интегралов не вызывает затруднений, и в дальнейшем, когда интегралы такого вида появляются в процессе вычисления более сложных интегралов, можно не расписывать их, а сразу записывать ответ с учетом формул:

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает

зависимость новой переменной от старой.

Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой

переменной du.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Метод вычисления интегралов, называемый интегрированием по час правиле дифференцирования произведения.

Пусть — функции, дифференцируемыенекоторомна промежутке. Тогда, как известно, дифференциал произведения этих ф по формуле

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства,

то получаем: , откуда .

Поскольку уже содержитпроизвольную постоянную, в правой части по равенстваможно опустить и записать равенство в виде

(1)

Полученная формула называетсяформулой интегрирования по частям.

При выводе формулы (1) мы предположили, что функции и дифференцируемы. Этой формулой обычно пользуются в

когда подынтегральное выражениепрощ , чем подынтегральное выражение.

Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно разл записать в виде. Например,

и .т д. Поэтому иногда приходится испытывать различные формы так чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное выр частии так, чтобы былвид не сложнее, чем, авидвидпроще, чемвид.В частности,полезно иметь в виду, что для таких функций,

функцию.