Билеты по математике / Билет 32

БИЛЕТ № 32

1.Теоремы о коллинеарных и компланарных векторах.

Коллинеарные и компланарные векторы. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора в базисе.

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема 1. Если векторы a и b коллинеарны и a не равно 0 , то существует единственное число α такое, что b=αa.

Векторы −→a,−→b и −→c называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Теорема 2. Если векторы a,b и c компланарны, а векторы a,b не коллинеарны, то существуют единственные числа α и β такие,

что c=αa+βb.

Рассмотрим систему векторов a1,a2,...,an и зададим n действительных чисел α1,α2,...,αn. Вектор b=α1a1+α2a2+...+αnan называется линейной комбинацией данных векторов a1,a2,...,an.

Система векторов a1,a2,..., an называется линейно зависимой, если существуют числа α1,α2,...,αn, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что α1a1+α2a2+...+αnan=0.

Если же равенство α1a1+α2a2+...+αnan=0 справедливо только при α1=α2=...=αn=0, то система векторов a1, a2,..., an называется линейно независимой.

Базисом векторного пространства называется система векторов, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1)она упорядочена,

2)линейно независима,

3)всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы. Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Теорема 3. Если векторы a, b и c не компланарны, то для любого вектора p существуют единственные числа α,β,γ такие, что p=αa+βb+γc.

Пусть B=(a, b, c) - базис векторного пространства V и d V . Если

d=xa+yb+zc, то числа x,y,z называются координатами вектора d относительно базиса B и записывают d(x, y, z).

Теорема 4. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. При умножении вектора на число на это же число умножается каждая координата данного вектора.

Базис B называется ортонормированным, если базисные векторы a, b, c единичные и взаимноортогональные (перпендикулярные). Векторы ортонормированного базиса обозначаются i, j, k.

Теорема 5. Длина вектора a(a1,a2,a3), заданного координатами в ортонормированном базисе i, j, k, вычисляется по формуле

2.Дифференциал, его геометрический смысл.

Дифференциал функции f(x) в точке x0 равен приращению, которое получает ордината касательной к кривой y = f(x) с абсциссой в точке x0 при переходе из точки касания в точку с абсциссой x0+Δx.