Билеты по математике / Билет 26
.pdf
26
Координаты вектора на плоскости и базис
Базисом на плоскости называются два неколлинеарных векторана этой плоскост взятые в определённом порядке (рис. 1.29)называются.Эти векторыбазисными.
Пусть на плоскости задан.базисПостроим прямыеи , содержащие базисные векторыи
соответственно. Эти прямые пересекаются, так как базисны неколлинеарные. Согласнопункт 1 теоремы, вектор1.1 можно представить в виде , где — проекция векторана вдоль ; 
— проекция векторана вдоль , причем проекции определяются однозначно, принадлежащий.Вектор прямой,можно разложить базису на этой прямойсм. разд( ),. 1т..7е. представить в виде, причем число определяется однозначно., Векторпринадлежащий прямой,можно разложить
базису на этой прямойсм. разд( ),. 1т..7е. представить в виде, причем число определяется однозначно. Подставляя эти разложения в, равенствополучаем разложение вектора по базисным векторам на плоскости
(1.3)
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1.4 (о разложении вектора по базису на плоскости). Любой вектор 
,
принадлежащий плоскости, может быть разложен по базису 
на этой плоскости, т.е. представлен в виде (1.3), где числа 
и 
определяются однозначно.
Коэффициентыи
в разложении (1.3) называютсякоординатами вектора 
относительно базиса 
(число называют абсциссой,— ординатой
вектора). Например, числа-3 являются2 и координатами вектора ( 
—
абсцисса, |
— ордината вектора |
). |
Базисные векторы, отложенные от одной (произвольной) точки плос репером налоскостип .
Ориентации базисов на плоскости
Базис на плоскости называется правым (или, что то же самое, уп неколлинеарных векторов называется правой парой), если кратчайший ко второму происходит против часовой стрелки (это направление пов положительным). Базисные векторы(рис.1.30,а) правого базиса расположен как большой и указательный пальцы правой руки, если, смотреть на
Левым базисом на плоскости (левой парой) называется такой базис поворот от векторавекторупроисходит по часовой стрелке (такое направ считается отрицательным). Базисные(рисвекторы.1.30,б) левого базиса рас соответственно как большой и указательный пальцы левой руки, если
Отметим следующее свойство: если неколлинеарныерыобразуютвектоправую пару пары, получающиеся перестановкой векторов)или заменой(пара одного вектора противоположным (например,),а образуют левую пару.
Пример 1.9. В параллелограмме точка делит сторонув
отношении |
|
; точка— середина стороны; — точка пересечения |
медиан треугольника(рис. 1.31). Разложить векторыипо |
||
векторам |
и |
. |
Решение. Чтобы разложить вектор, применяем правило ломаной:замыкаетвектор
ломаную |
и ломаную |
. |
Поэтому |
и |
, то есть |
Выразим все векторы этого равенства, за исключением, черезискомого в векторыи
.
Учитывая, что |
и |
, получаем. |
Отсюда. |
|
|
Так как точкапересечения диагоналей параллелограмма делит каждую
точка делит медианутреугольника в отношении |
, заключаем, |
|
что |
, т.е. |
|
По правилу сложения векторов имеем |
. Следовательно,. Отсюда |
находим искомое разложение |
|
