Билеты по математике / Билет 29

БИЛЕТ № 29

1.Уравнения плоскости.

Стандартное уравнение плоскости -Ax + By + Cz + D = 0 Вектор (A, B, C) перпендикулярен плоскости.

Уравнение плоскости по трем точкам (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) можно получить из следующих опрееделителей:

Раскрывая, получаем

A = y1 (z2 - z3) + y2 (z3 - z1) + y3 (z1 - z2)

B = z1 (x2 - x3) + z2 (x3 - x1) + z3 (x1 - x2)

C = x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)

- D = x1 (y2 z3 - y3 z2) + x2 (y3 z1 - y1 z3) + x3 (y1 z2 - y2 z1)

Следует заметить, что, если все точки лежат на одной прямой, то (A,B,C) будет (0,0,0).

Знак s = Ax + By + Cz + D определяет, с какой стороны по отношению к плоскости находится точка (x,y,z). Если s > 0, то точка лежит в той стороне, куда указывает нормальный вектор (A,B,C). Если s < 0 - на противаположной стороне, а в случае s = 0 точка принадлежит плоскости.

Альтернативный способ задания

Если вектор N перпендикулярен плоскости, то все принадлежащие ей точки p удовлетворяют равенству

N . p = k

где . - скалярное произведение двух векторов.

т.е: a . b = (ax,ay,az) . (bx,by,bz) = ax bx + ay by + az bz

Если точка a принадлежит плоскости, то

N *(p - a) = 0

2.Односторонние пределы функции. Теорема о существовании предела функции.

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E® R имела предел при x® s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.