Билеты по математике / Билет 11
.pdf
Билет 11
1. Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
Покажем как происходит сложение двух векторов.
Сложение векторов 
и 
происходит так: от произвольной точки A
откладывается вектор 
, равный 
, далее от точки B откладываеься вектор
, равный 
, и вектор 
представляет собой сумму векторов 
и 
. Такой способ сложения двух векторов назвается правилом треугольника.
Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.
А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.
К началу страницы
Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.
Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих
векторов будет вектор 
.
Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.
Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.
К началу страницы
Операция умножения вектора на число.
Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.
Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз
при k > 1 или сжатию в 
раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.
К примеру, при умножении вектора 
на число 2 нам следует вдвое увеличить
его длину и сохранить направление, а при умножении вектора 
на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.
К началу страницы
Свойства операций над векторами.
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения
вектора на число. При этом для любых векторов 
и произвольных
действительных чисел 
можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.
1. Свойство коммутативности 
.
2. Свойство ассоциативности сложения 
.
3.Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор 
, и 
. Это свойство очевидно.
4.Для любого ненулевого вектора 
существует противоположный вектор
и верно равенство 
. Это свойство очевидно без иллюстрации.
5.Сочетательное свойство умножения 
. К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор
|
растянуть в 12 раз. |
|
|
|
|
6. |
Первое |
распределительное |
свойство |
. |
Это |
|
свойство достаточно очевидно. |
|
|
|
|
7. |
Второе |
распределительное |
свойство |
. |
Это |
|
свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, 
. При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.
Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.
Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.
Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов 
и 
есть сумма векторов 
и 
.
Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.
2. Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1 . Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
▼Пусть функция ƒ(х) и φ(х) непрерывны на некотором множестве X и x0 — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(x)=ƒ(х)•φ(х). Применяя теорему о пределе произведения, получим:
Итак, |
что и доказывает непрерывность функции ƒ(х)•φ(х) в точке х0. ▲ |
Теорема 19.2 . Пусть функции u=φ(х) непрерывна в точке х0, а функция у=ƒ(u) непрерывна в точке u0=φ(хо). Тогда сложная функция ƒ(φ(х)), состоящая из непрерывных, функций, непрерывна в точке х0.
▼В силу непрерывности функции u=φ(х)
т. е.при х х0 имеем u u0. Поэтому вследствие непрерывности функции у=ƒ(u) имеем:
Это и доказывает, что сложная функция у=ƒ(φ(х)) непрерывна в точке х0. ▲
Теорема 19.3 . Если функция у=ƒ(х) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси (Oх, то обратная функция у=φ(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу (без доказательства).
Так, например, функция tgx=sinx/cosx . в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosх=0, т. е. кроме значений х= /2+ n, nєZ.
Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.
Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех
значениях х, для которых они определены.
Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в
каждой точке, в которой она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.