Билеты по математике / Билет 25

25

Векторное произведение векторов и его свойства

Вектор называетсявекторным произведением неколлинеарных векторови , если:

1) его длина равна произведениюдлинавекторовсинусугла между ними: (рис.1.42);

2)векторортогонален векторами ;

3)векторы, , (в указанном порядке)бразуют правую тройку.

Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хо множителей—нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Алгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов, , и любого действительного: числа

1. ;

2. ;

3. .

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведе

— аддитивностьоднородность по первому множителю. Эти свойства аналогич произведения чисел: первое свойство "противоположно" закону коммутат (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону ди чисел по отношению к сложению,—законутретьеассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскол является вектор, то такое произведение векторов называется векторным

Докажемпервое свойство, предполагая, ичтоне векторыколлинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По

векторы и имеют равные длины и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярныти). Пооднойопределоскосениютройки

векторов и — правые, т.е. векторнаправлен так, что кратчайший повор от к происходит в положительном направлении (против часовой стрелки) конца вектора, а векторнаправлен так, что кратчайшийорототк повпроисходит в положительном направлении, если смотреть из(рисконца.1.43)вектора.Это означает, векторыи противоположно направлены. Следовательно,что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств. пунктриведено1 замечанийниже (см 1.13).

Замечания 1.12

1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения озн векторного произведения по первому множителю:

для любых векторов и любых действительныхи чисел.

2. В силуантисимметричности векторное произведение линейно и по второ линейно по любому множителю.

Геометрические свойства векторного произведения

1.Модуль векторного произведения численно равен площади параллело намножителях (рис. 1.42,6).

2.Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и тольк коллинеарны, т.е.

, в частности, .

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство.

Интегрирование дробно-рациональных функций

Определение 1. Функция вида, где и - многочлены, называется дробно-рациональной

функцией. Мы будем рассматривать, как правило, правильные дроби, то есть дроби , где степень

многочлена в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. Начнем с дробей, в которых в знаменателе стоит квадратный трехчлен.

Обычно дробно-рациональные функции интегрируются с помощью разложения на простейшие дроби. Проиллюстрируем этот метод несложными примерами.

Пример 1. .

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

.

Найдем неизвестные коэффициенты исходя из того, что после приведения правой части к общему знаменателю коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей равенства должны совпадать:

.

Получаем равенство: =, из которого получаем систему уравнений:

Решая эту линейную систему, получаем . Поэтому