8.4. Вероятностные задачи

Это задачи выбора лучшего варианта решения в ситуациях, когда в результате каждого действия могут быть получены различные результаты, вероятности достижения которых известны или могут быть оценены (например, каждый вариант плана приводит к получению известных результатов с определенной вероятностью).

Принятие решения в условиях вероятностной определенности базируется на теории статистических решений.

В этой теории неполнота и недостоверность информации в реальных задачах учитываются путем рассмотрения случайных событий и процессов. Описание закономерностей поведения случайных объектов осуществляется с помощью вероятностных характеристик. Сами вероятностные характеристики являются уже неслучайными, поэтому с ними можно производить операции по нахождению оптимального решения так же, как с детерминированными характеристиками. Неполнота и недостоверность информации находят свое отражение в вероятностных характеристиках. Общим критерием нахождения оптимального решения в теории статистических решений является средний риск, поэтому часто в литературе задачи данного класса называются задачами принятия решений в условиях риска.

Роль человека в решении задач методами теории статистических решений заключается в постановке задачи, т.е. приведении реальной задачи к типовой математической задаче, утверждении получаемого оптимального решения, а также (при отсутствии статистических данных) в определении субъективных вероятностей событий.

Субъективные вероятности представляют собой мнение человека о достоверности случайных событий.

Получение оптимального решения в задачах данного класса осуществляется формально без участия человека.

При решении вероятностных задач выбор наилучшего варианта решения обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша (его математического ожидания) для матрицы выигрышей или минимума ожидаемого среднего риска:

, ,

где р – вероятность выбора игроком стратегии В_j.

Этот критерий применяется при решении большинства задач данного типа.

В тех случаях, когда в результате определенных расчетов, например технико-экономических, представляется возможным определить эффективность той или иной стратегии в различных условиях внешней среды, вместо значений полезности должны использоваться конкретные величины, характеризующие эффект от реализации того или иного варианта решения. Окончательные рекомендации о выборе решения должны вырабатываться с учетом вероятности получения различных результатов рассматриваемых вариантов решения.

Для примера поставим в соответствие платежной матрице, представленной в таблице 8.4, вероятности р выбора игроком В соответствующих стратегий.

Таблица 8.4

Матрица распределения вероятностей

	В1	В2	В3	В4
А1	0,3	0,1	0,3	0,3
А2	0,1	0,1	0,5	0,3
А3	0,2	0,3	0,4	0,1

Рассчитаем математические ожидания выигрыша игрока А от реализации каждой стратегии:

- для стратегии А₁ ;

- для стратегии А₂ ;

- для стратегии А₃ .

Таким образом, оптимальной считается стратегия А₃. Следует обратить внимание, что при отсутствии информации о вероятностях действий игрока В данная стратегия не попадала в разряд оптимальных ни по одному из рассмотренных выше критериев.

Данный критерий непосредственно используется в такой форме только тогда, когда результаты задаются в виде полной группы несовместимых событий (то есть, возможен выбор лишь одной стратегии либо получение единственного результата, а сумма вероятностей получения результатов с помощью определенной стратегии равна 1). Однако на практике эти условия соблюдаются не всегда.

Напомним, что под риском понимается потенциальная изменчивость объективных характеристик какого-либо объекта или явления. Для его учета применяются теория вероятности, математическая статистика, в том числе методы исследования операций. Матрица результатов решений является одним из универсальных методов.

Универсальность матрицы результатов решений заключается в том, что она может быть использована при решении самых разнообразных производственных задач. Объективные условия в матрице отражают нерегулируемые факторы, которые могут оказать влияние на результаты решений, а показатели результата характеризуют то, что будет достигнуто при выборе данного варианта решения и возникновения определенных объективных условий.

Следует отметить, что составление матрицы не может быть сведено к каким-либо механическим действиям. ЛПР необходимо знать производство, обладать определенным опытом работы и творческим мышлением. Только в этом случае он сможет с достаточной достоверностью представить, какие ситуации (объективные условия) могут возникнуть и какое влияние они окажут на производство.

Матрица результатов решений позволяет осуществлять выбор решений в условиях риска, так как в ней учитывается вероятность появления тех или иных объективных условий. Такой выбор производится на основе установленных вероятностей (из прогноза) возникновения различных объективных условий и результатов, ожидаемых при этих условиях, путем определения математического ожидания среднего значения результата каждого из вариантов.

Еще одним методом решения вероятностных задач является метод построения "дерева решений". Данный метод используется, если имеют место два или более последовательных множества решений (причем последующие решения основываются на результатах предыдущих) и/или два или более множества состояний среды, то есть появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью.

Дерево решений – это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Рассмотрим применение данного метода, схема которого изображена на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Дерево решений

Эта модель показывает, каким образом выбор одной из альтернатив решения определяет последующие состояния системы. Крайний левый кружок (1) обозначает определенное начальное состояние системы, описанное некоторыми параметрами.

В этом состоянии руководитель, принимающий решения, сталкивается с двумя альтернативами "а" и "б". Если он выберет альтернативу "а", он перейдет в новое состояние (2). При этом у него появляются уже три альтернативы для выбора, помеченные соответственно "в", "г", "д". Если в первом состоянии он выберет альтернативу "б", то тогда система перейдет в состояние (3), где появятся еще три альтернативы – "е", "ж", "з".

Этот метод показывает, что каждое изменение состояния системы включает два аспекта:

1. Непосредственный результат изменения системы.

2. Новое состояние и новую проблему выбора пути ее дальнейшего развития.

В случае, когда руководитель, принимающий решения, выбирает альтернативу "а" для изменения состояния (1), он получает следующие результаты:

1. Непосредственные последствия альтернативы "а".

2. Состояние (2) и соответствующие альтернативы "в","г" и "д".

Если ЛПР совершает переход из состояния (1) в соответствии с альтернативой "б", он получает:

1. Непосредственные последствия выбора "б".

2 Состояние (3), в котором представлены альтернативы "е","ж" и "з".

Выбор альтернативы "г" приведет к состоянию (4) и появлению нового набора альтернатив дальнейшего развития "и" "к", "л". Этот процесс можно продолжить.

Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае предполагает выполнение следующих этапов:

1. Формулирование задачи. Прежде всего необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. На данном этапе должны быть выполнены следующие процедуры:

- определение возможностей сбора информации для экспериментирования и реальных действий;

- составление перечня событий, которые могут произойти с определенной долей вероятности;

- установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.

2. Построение дерева решений.

3. Оценка вероятностей состояний среды, то есть сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем.

4. Установление выигрышей для каждой возможной комбинации альтернатив и состояний среды.

5. Решение задачи. Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины построенного дерева ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение максимума ожидаемого среднего выигрыша.

Выводы

В зависимости от степени определенности постановки проблем и условий их решения задачи принятия решений можно классифицировать на три группы, что предопределяет использование тех или иных конкретных методов их решения:

Детерминированные задачи (принятие решений в условиях определенности). Это задачи выбора лучшего варианта решения в ситуациях, когда каждая стратегия (вариант действий) приводит к единственному результату (например, каждый из рассматриваемых вариантов плана приводит к получению требуемого результата со 100-процентной вероятностью).

Вероятностные задачи (задачи в условиях вероятностной определенности) возникают в ситуациях, когда в результате каждого действия могут быть получены различные результаты, вероятности достижения которых известны или могут быть оценены.

Задачи в условиях неопределенности. Задачи, возникающие в ситуациях, когда неизвестны вероятности реализации стратегий из числа рассматриваемых (частичная неопределенность) или вообще неизвестен набор возможных стратегий (полная неопределенность). Такая ситуация характерна для практики принятия решений, когда рассматриваются не все возможные варианты решения возникшей проблемы, а только ограниченное число вариантов, которые удалось выявить.

Детерминированные и неопределенные задачи можно считать предельными случаями (например, полное знание и полное незнание результатов) вероятностных задач.