6.3. Методы многокритериальной оптимизации управленческих решений

При решении любой задачи оптимизации строится оценочная функция, для чего избирается некоторый измеримый критерий эффективности исходов. Однако в большинстве практических задач принятия решения исходы (в качестве которых выступают реальные объекты и явления) оцениваются, как правило, не по одному, а по нескольким критериям. Так при оценке технического изделия основными критериями (показателями) оценки служат его технические характеристики, а также такие качества, как надёжность, эргономичность, внешний вид. При выборе кандидата на должность важнейшими критериями оценки являются квалификация, образования, возраст коммуникабельность и т.п. В экономических задачах основными критериями служат экономическая эффективность и стоимость, при этом каждый из этих критериев, в свою очередь, может быть подразделен на более частные критерии.

Если исходы оцениваются по m критериев, где m>1, то такая задача принятия решений называется многокритериальной. Основная сложность логического анализа многокритериальных задач состоит в том, что в них, в отличие от однокритериальных задач появляется эффект несравнимости исходов. Например, если исходы оцениваются по двум критериям, несводимым один к другому, и исход а₁ лучше исхода а₂ по первому критерию, но хуже по второму, то исходы а₁ и а₂ несравнимы между собой. Несравнимость итогов является формой неопределённости, которая вызвана стремлением ЛПР "достичь противоречивых целей" и может быть названа ценностной неопределенностью. Выбор между несравнимыми исходами является сложной концептуальной проблемой и составляет основное содержание многокритериальной оптимизации.

Математическая модель принятия решения при многих критериях может быть представлена в виде: , гдеD – некоторое множество (множество допустимых исходов); f_j – числовая функция, заданная на множестве D; при этом f_j(а) есть оценка исхода поj-му критерию (). Критерийf_j называется позитивным, если ЛПР стремится к его увеличению, и негативным, если он стремится к его уменьшению.

В многокритериальных задачах принятия решений цель ЛПР – получение исхода, имеющего как можно более высокие оценки по каждому критерию.

Основное значение, по которому производится сравнение векторных оценок – это отношение доминирования по Парето. Понятие множества Эджворта–Парето было дано выше.

Сформулировать единый принцип оптимальности для многокритериальных задач не представляется возможным. Потенциально оптимальным решением многокритериальной задачи принятия решения может являться только Парето-оптимальный исход. Однако в типичных случаях таких исходов может быть несколько (а в непрерывном случае – бесконечное множество). Дать однозначный ответ на вопрос, какой из Парето-оптимальных исходов следует считать оптимальным, для общего случая, не имея дополнительной информации о критериях, невозможно. Дело в том, что любые два Парето-оптимальных исхода не сравнимы относительно доминирования по Парето.

Методика исследования задач принятия решений на основе математического моделирования для многокритериальных задач может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

1. Для заданной многокритериальной задачи находится множество ее Парето-оптимальных исходов, а выбор конкретного оптимального исхода из этого множества предоставляется ЛПР.

2. Производится сужение множества Парето-оптимальных исходов (в идеале – до одного элемента) с помощью некоторых формализованных процедур, что облегчает окончательный выбор. Такое сужение может быть произведено только при наличии дополнительной информации о критериях или о свойствах оптимального решения. Выделяют следующие простейшие способы сужения множества Парето-оптимальных исходов:

- Указание нижних границ критериев. Данное указание не может быть "извлечено" из математической модели решаемой задачи; набор этих границ представляет собой дополнительную информации, полученную от ЛПР. При использовании данного метода окончательный выбор исхода производится из суженного Парето-оптимального множества ЛПР на основе субъективных соображений. Основной недостаток данного метода в субъективности принимаемого решения. На основе данного метода выделяют правило гарантированного уровня – оптимальным считается такой вариант решения, который попадает в область допустимых решений.

- Субоптимизация (правило главной характеристики). Производится следующим образом: выделяется один из критериев, а по всем остальным критериям назначают нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве исходов, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных. Окончательное решение также имеет субъективный характер, так как выделение критерия и указание нижних границ производит ЛПР.

- Лексикографическая оптимизация. Метод основан на упорядочении критериев по их относительной важности. На первом шаге отбирают исходы, которые имеют максимальную оценку по важнейшему критерию. Если такой исход единственный, то его и считают оптимальным. Если таких исходов несколько, то среди них отбирают те, которые имеют максимальную оценку по следующему за важнейшим критерию и т.д. в результате этой процедуры всегда остаётся только единственный оптимальный исход. Основные недостатки данного метода: 1) при практическом применении данного метода возникают содержательные трудности в установлении полной упорядоченности критериев по их относительной важности; 2) фактически при использовании метода учитывается только первый – важнейший критерий.

- Метод последовательных уступок. В его основе лежит идея понижения размерности исходной задачи путем назначения главного критерия в специально формируемых двумерных подзадачах условной оптимизации. Для этого в ходе вербального анализа исходов операции все частные критерии ранжируют и нумеруют в порядке убывания важности. Затем максимизируют первый. Самый важный критерий и находят его наибольшее значение. Далее, исходя из практических соображений, ЛПР назначается некоторая уступка от достигнутого значения. Величина уступки – это своеобразная плата за возможность повысить значения очередного по важности критерия от его достигнутого к данному шагу уровня. В результате второй критерий может достичь величины максимального значения, зависящей, естественно, от величины уступки по первому критерию. Затем назначают уступку по второму критерию. Ценой которой стремятся увеличить значения третьего критерия и т.д. таким образом, величины уступок назначаются последовательно в результате анализа только попарной взаимосвязи критериев.