КР, мат.ан, ОЗО 1сем

Контрольная работа по математическому анализу

(1 курс 1 семестр 2014-2015 уч. год)

Задание 1. Доказать. Проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

1. CÌA Þ (AÇB)ÈC = AÇ(BÈC).

1. (AÇB)ÈC = AÇ(BÈC) Þ CÌA.

1. AÈB = AÇB Þ A = B.

1. AÇB = B Þ BÌA.

1. AÈB = B Þ AÌB.

1. AÌB Þ A\CÌB\C.

1. AÌB Þ C\BÌC\A.

1. A\(BÈC) = (A\B)\C.

1. A\(B\C) = (A\B)È(AÇC).

1. (AÈB)\C = (A\C)È(B\C).

Задание 2. Найти предел последовательности:

1. 

2. 

3. 

4. ()

5. ()

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Задание 3. Найти предел функции:

1.a) b).

2. a)

b) .

3. a) b) .

4. a) b) .

5. a) b) .

6. a) b) .

7. a) b) .

8. a)

b) .

9. a) b) .

10. a) b) .

Задание 4. Найти производную функции:

1.а) ; б);

в) ; г) .

2. а) ; б);

в) ; г) .

3. а) ; б);

в) ; г) .

4. а) ; б);

в) ; г) .

5. а) ; б);

в) ; г) .

6. а) ; б);

в) ; г) .

7. а) ; б);

в) ; г) .

8. а) ; б);

в) ; г) .

9. а) ; б);

в) ; г) .

10. а) ; б);

в) ; г) .

Задание 5. Найти предел по правилу Лопиталя:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Задание 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

1..

2. .

3..

4. .

5. .

6..

7. .

8. .

9.

10. .

Задание 7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. 

8. 

9. 

10. 

Задание 8. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием:

1.

2.

3.

4. а) б) в)

5. а) б) в)

6. а) б) в)

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

Задание 9. Вычислить определенные интегралы.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

1. .

2. .

3.

4., .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

Задание 11. Найти общее решение уравнения первого порядка методом разделения переменных.

1. xy¢ + y =0

2. y - xy¢ = 1 + x² y¢

3. y¢ xy (1 + x² ) = 1 + y²

4. yy¢ +x = 1

5. 2x yy¢ + y = 2

6. x + xy + y¢(y +xy) = 0

7. y¢(1 + x²) + x(1 + 2y) = 0

8. xy¢ - y = 2

9. e^y(1+ x²) y¢ - 2x(1+ e^y) = 0

10. xy¢ =

Задание 12. Найти частное решение уравнения первого порядка, удовлетворяющее следующим начальным условиям.

1. y¢=(2y+1)ctgx , y₀ = 0,5 при x₀ =

2. y¢ =2, y₀ = 1 при x₀ = e

3. y¢ tgx – y = 1, y₀ = 1 при x₀ =

4. y¢ sinx = y lny, y₀ = 1 при x₀ =

5. y¢ = 2, y₀ = 1 при x₀ = 0

6. y¢ (2x+1) + y² = 0, y₀ = 1 при x₀ = 4

7. xy¢ - y = 0, y₀ = 2 при x₀ = -4

8. y¢ = , y₀ = 1 при x₀ = 0

9. (x² - y x²) y¢ + y² + x y² = 0, y₀ = 1 при x₀ = 1

10. y¢ = , y₀ =e² при x₀ = 0

Задание 13. Найти общее решение линейного уравнения первого порядка .

1. y¢ + 2y = 2

2. y¢ -

3. y¢ cosx – y sinx = 2 sin2x

4. y¢ -

5. xy¢ + 2y = x²

6. y¢ + x²y = x²

7. y¢ +

8. xy¢ + y = ln x + 1

9. y¢ +

10. y¢ - y = e^x

Задание 14. Найти решение линейного однородного уравнения второго порядка .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Справочник

Понятие функции

Пусть X - числовое множество. Если существует правило f, которое всякому x ÎX ставит в соответствие единственное число f(x), то говорят, что на множестве X задана функция f(x).

Понятие последовательности

Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Предел последовательности

Постоянное число a называется пределом последовательности x_n, если для любого e > 0 найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется |x_n - a| < e.

Понятие производной

Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u  v) = u  v

2) (uv) = uv + uv

3), если v  0

Таблица производных

Дифференциал

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f(x)x или

dy = f(x)dx.

Производная сложной функции

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Критическая точка функции

Критической точкой функции f(x) называют точку x, в которой производная обращается в нуль, т.е. f ¢(x)=0

Признаки возрастания функции

Функция возрастает в точке x, если ее производная в этой точке больше нуля,

т.е. f ¢(x) > 0.

Признаки убывания функции

Функция убывает в точке x, если ее производная в этой точке меньше нуля, т.е. f ¢(x)<0.

Достаточное условие минимума

Функция f(x) имеет в точке x минимум, если f ¢(x)=0 и f¢¢(x)>0

Достаточное условие максимума

Функция f(x) имеет в точке x максимум, если f¢(x)=0 и f¢¢(x)<0

Понятие неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:F(x) + C.

Таблица интегралов

Интегрирование заменой переменной

Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Интегрирование по частям

Связь определенного и неопределенного интеграла (Формула Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Литература:

1. Б е к л е м и ш е в Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1987, 1998.

2. П и с к у н о в Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1. СПб.: Мифрил, 1996.

3. П и с к у н о в Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. СПб.: Мифрил, 1996.

4. М а н т у р о в О.В., М а т в е е в Н.М. Курс высшей математики. Ч.1. М.: Высшая школа, 1997.

5. Ш е с т а к о в А.А., М а л ы ш е в а И.А., П о л о з к о в Д.П. Курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1987.

6. Ш и п а ч е в В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990, 1999.

7. Я б л о н с к и й С.В. Введение в дискретную математику: Учеб. пос. для студентов. М.: Наука, 1986.

8. Г о р б а т о в В.А. Основы дискретной математики: Учеб. пос. для втузов. М.: Высшая школа, 1986.

9. Н е ф е д о в В.Н., О с и п о в а В.А. Курс дискретной математики. М.: Изд-во МАИ, 1992.

6. Б у г р о в Я.С., Н и к о л ь с к и й С.М. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.

7. Н.Ш. К р е м е р Высшая математика для экономистов, Москва, ЮНИТИ, 2002

13. Д. П и с ь м е н н ы й Конспект лекций по высшей математике, Москва, АЙРИС ПРЕСС, 200