7.Элементы механики жидкостей и газов

7.1. ЛИНИИ И ТРУБКИ ТОКА. НЕРАЗРЫВНОСТЬ СТРУИ

Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.

Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором(рис.7.1.). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линийк величине перпендикулярной к ним площадки, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине векторав разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.

Величина и направление вектора меняется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор ,будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока, и частицы жидкости не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S(рис.7.2.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время через сечениеS пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения. Следовательно, за времячерез сечениеS пройдет объем жидкости, равный , а за единицу времени через сечениеS пройдет объем жидкости, равный . Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениямии(рис.7.3.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сеченияи, должны быть одинаковыми:

.

Таким образом, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

.

Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.

7.2.УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Рассматривая движение жидкостей, в ряде случаев можно считать, что перемещение одних жидкостей относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость, которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис.7.4.). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями и.За времяэтот объем переместиться вдоль трубки тока, причем сечениепереместиться в положение,пройдя путь, сечениепереместиться в положение , пройдя путь .В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину :

Энергия каждой частицы жидкости равна сумме ее кинетической энергии и потенциальной в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время в любой из точек незаштрихованной части рассматриваемого объема (например точкаO на рис. 7.4. ), имеет такую же скорость (и такую же кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии всего рассматриваемого объема равно разности энергий заштрихованных объемови.

Будем считать, что сечение трубки тока и отрезки настолько малы, что все точки каждого из заштрихованных объемов имеют одинаковые значения скорости, давленияи высотыh. Тогда приращение энергии

(7.1)

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому приращение энергии (7.1) равно работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц и работы не совершают. Работа сил, приложенных к сечениямиравна

. (7.2)

Приравняв (7.1) и (7.2), получаем

. (7.3)

Так как сечения ибыли взяты произвольно, то можно утверждать, что выражениеостается постоянным в любом сечении трубки тока, т.е. в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

.

Это уравнение Бернулли. Для горизонтальной линии тока уравнение (7.3) принимает вид: