2. Среднее значение измеряемой величины

При многократных измерениях какой-то величины, истинное значение которой a, проделывают n измерений. В результате получают ряд приближенных значений

Истинные абсолютные погрешности представим как

Тогда можем записать:

Складывая почленно, имеем:

Отсюда

,

среднее арифметическое отдельных измерений.

Истинное значение а, выразится

истинная абсолютная погрешность, которая остается неизвестной.

Задача нахождения случайных погрешностей была решена Гауссом. В основе рассмотрения лежат две аксиомы:

1. Погрешности равной абсолютной величины и противоположных знаков равновероятны.

2. Чем больше абсолютная величина погрешности, тем она менее вероятна.

Из первой аксиомы следует, что при бесконечном числе измерений (при )

и тогда

Но практически осуществить можно лишь конечное число измерений. И этого оказывается достаточно, так как на основе второй аксиомы маловероятны большие погрешности.

Отсюда следует, что многих измерений, и встает задача оценить степень приближения среднего значения к истинному.

3. Погрешности прямых или непосредственных измерений

Если в результате измерения величины b получены значения то среднее арифметическое значение

Абсолютные погрешности отдельных измерений равны по модулю разностям среднего значенияи результатов отдельных измерений

, ,…,

средняя абсолютная погрешность измерений.

Результат измерения представляют так:

Расчеты проводятся с учетом правил приближенных вычислений.

Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от среднего значения и выражается обычно в процентах

Наименьшая погрешность измерения не может быть меньше погрешности прибора. Последняя указывается в паспорте, либо за нее принимаем половину цены деления прибора.

Если измерение проведено один раз или при многократных повторениях получается один и тот же результат, то погрешностью измерения считают погрешность прибора (по паспорту или классу точности прибора) или ее принимают равной половине цены наименьшего деления прибора.

Класс точности прибора определяется максимальной погрешностью прибора, выраженной в процентах от полной величины шкалы. Например, класс точности 0,5 означает погрешность 0,5% при отклонении стрелки на всю шкалу. При отклонении стрелки на половину шкалы погрешность возрастает в два раза, при отклонении стрелки на треть шкалы – втрое.

4. Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях величину x находят как функцию непосредственно измеренных величин а, b, с. Абсолютные погрешности непосредственных измерений обуславливают абсолютную погрешностьПри нахождениииспользуют следующие теоремы:

1. Абсолютная погрешность суммы (разности) равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого)

,

2. Абсолютная погрешность произведения равна сумме произведений первого сомножителя на абсолютную погрешность второго и второго сомножителя на абсолютную погрешность первого

,

3. Абсолютная погрешность частного равна сумме произведений делимого на абсолютную погрешность делителя и делителя на абсолютную погрешность делимого, деленной на квадрат делителя

,

Относительная погрешность

В математическом анализе показано, что

При этом x – есть какая-то функция и т. д. в явном виде, и, следовательно, можно вычислить ее дифференциал от логарифма, который будет содержатьи т. д.

Если заменить в полученном выражении все дифференциалы малыми конечными разностями и т.д., то получим формулу для относительной погрешности

для конечных разностей

.

Если есть абсолютные погрешности при непосредственных измеренияха, b, с, то –абсолютная погрешностьвеличины x.

Формула для нахождения относительной погрешности будет записана так: (все члены берутся по абсолютной величине)

.

Для выражения в процентах нужно правую и левую части умножить на 100%.

Эту формулу удобно использовать и для нахождения абсолютной погрешности.

Действительно,

.

Результаты представляют так: .

Если функция x представляет сложную сумму или разность, то погрешности находятся для каждого члена отдельно, а затем суммируются. В тех случаях, когда в формулы для нахождения величины x входят физические или математические справочные величины, выраженные приближенными числами, их погрешностями считают половину единицы низшего ряда. Например,