1.5.5. Вынужденные электрические колебания.

_{Чтобы вызватьвынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие.}

_{Рис.1.5.5. В случае электрических колебаний это можно осуществить:}

• _{если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или}

• _{подать на контур переменное напряжение}

_{Цепь, в которой последовательно с ЭДС включены сопротивление R, индуктивность L и конденсатор С, называется последовательным колебательным контуром.}

_{Рассмотримпроцессы в этом контуре.}

• _{По второму правилу Кирхгофа}

_{или .}

_{Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний}

_(1.5.2)

_{Частное решение этого уравнения (1.5.3)}

_где

_{Подставим и :}

_{Общее решение получится, если к частному решению (1.5.3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено в предыдущем параграфе. Оно содержит множитель , который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени им можно пренебречь.}

_{Таким образом, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (1.5.3).}

_{Силу тока в контуре при установившихся колебанияхнайдем,}

_{продифференцировав (1.5.3) по времени:}

_{где - сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.}

_Тогда

_{Из этого выражения следует, что}

• _{ток отстает по фазе от напряжения ()при .}

• _{опережает напряжение () при .}

_{Для силы тока можно записать . (1.5.4)}

_{Представим соотношение (1.5.2) в виде:.}

_{- падение напряжения на активном сопротивлении;}

_{- падение напряжения на конденсаторе;}

_{– напряжение на индуктивности; тогда можно записать}

_{. (1.5.5)}

_{Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.}

• _{напряжение на активном сопротивлении, согласно (1.5.4).}

_{напряжение совпадает по фазе с током в контуре}

• _{Для напряжения на конденсаторе, подставив (1.5.3), имеем}

_–

Напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.

• _{Напряжение на индуктивности}

_,

_{где , – напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.}

_{Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью}

_{ВЕКТОРНОЙ ДИАГРАММЫ.}

_{Гармонические колебания можно задать с помощью вектора,}

_{- длина которого равна амплитуде колебаний ,}

_{- а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний.}

_{Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов}

• _{совпадает по фазе с током,}

_{– отстаёт на π/2,}

_{– опережает на π/2.}

• _{Векторы , , в сумме дают , причём U определяется выражением (1.1.5)}

1.5.6. Резонанс в последовательном контуре

_{При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс.}

_{Резонансная частота для напряжения на конденсаторе и для заряда q равна:}

_{Рис.1.5.7 - резонансные кривые для .}

• _{Все резонансные частоты .}

• _{При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке}

• _{– это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения.}

• _{максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β=R/2L, то есть чем меньше R и больше L.}

• _{Ход резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.}

_{рис.1.5.8.Резонансные кривые для тока.}

• _{Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда, то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:}

• _{При ω→0 сила тока уменьшается до нуля, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.}

• _{При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно считать равной . Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:}

_{- то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.}

_{Итак, при резонансе}

_причём

_{поэтому} - амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивностиравны между собой, но противоположны по фазе.

Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя цепь только с активным сопротивлением.

Вся энергия, приложенная к контуру идёт на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного и емкостного.