1.5.3. Свободные колебания в контуре

_{Рис.1.5.1. Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивности L и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы.}

• _{Состояние такого контура в любой момент времени может быть однозначно описано единственным параметром – зарядом q на конденсаторе.}

• _{Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом в контуре возникают гармонические колебания.}

• _{Падение напряжения на конденсаторе .}

• _{При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции где ток , поэтому .}

_{Согласно второму правилу Кирхгофа то есть}

_{, или}

_{Это уравнение является уравнением свободных гармонических колебаний, при условии Его решение ,}

_{где – заряд конденсатора в момент времени t=0.}

_{В катушке:}

• _{Для тока имеем:}

_{-сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.1.5.2).}

• _{Для напряжения закон изменения имеет вид:}

_{При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки .}

_{При этом полная электромагнитная энергия сохраняется.}

1.5.4. Свободные затухающие колебания в контуре

_{Рис.1.5.3. Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают.}

_{По второму правилу Кирхгофа для цепи на имеем:}

Разделим это уравнение на L и подставим ,

_{Учитывая, что , и обозначив , получаем}

_{- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.}

_{При , т.е. при ,}

_{решение этого уравнения имеет вид , (1.5.1)}

_{где .}

_{Подставив и , получаем}

_{Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .}

_{Для определения напряжения на конденсаторе:}

_{разделим (1.5.1) на С, имеем}

_{Чтобы найти закон изменения силы тока,}

_{продифференцируем (1.5.1) по времени:}

_{Обозначим}

_тогда

_{Так как то}

_{- при наличии в контуре активного сопротивления}

_{сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на}

_{График функции представлен на рис.1.5.4.}

• _{Логарифмический декремент затухания}

_{Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.}

• _{Если затухание невелико}

_{- , то и}

_{- добротность контура в случае слабого затухания}

_{При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период.}

_{Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону e}-βt_{. Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону e}-2βt_.

_{Относительное уменьшение за период равно:}

• _{При незначительном затухании λ<<1 можно считать e}-2λ _≈1-2λ.

_{Тогда добротность .}

• _{При частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора.}

_{Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,}