2. Гармоническая волна и ее описание (табл. 4.45).

2. Плоские и сферические волны (табл. 4.44).

Однородная среда - среда, физические свойства которой не изменяются от точки к точке среды.

Изотропная среда -

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t,называетсяфронтом волны.Это поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называетсяволновой поверхностью.

• Если волновые поверхности – параллельные плоскости, то волна называется плоской;

• если волновые поверхности – концентрические сферы с центром в источнике волны, волна называется сферической.

ЛУЧ -

Уравнение волны (табл. 4.47) (Савельев)

_{Уравнением волны называется зависимость от координат и времени параметров среды при прохождение в ней волны (имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и относительно координат.}

_{Периодичность по времени вытекает из того, что ξ описывает колебания частицы с координатами .}

_{Периодичность по координатам вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом.}

_{1. Найдем функцию в случаеплоской поперечной волны, полагая, что}

• _{колебания носят гармонический характер, а волна распространяется в направлении осиХ (рис.2.2).}

• Рассмотрим точку М, которая являетсяисточником колебаний.

- Ее колебания относительно положения равновесия (точки О) описываются уравнением

- время tбудем отсчитывать от начала колебаний точкиМ.

- Через время  колебания достигают точкиВ, которая начинает колебаться относительно своего положения равновесия точкиО ^/.

- Волновой процесс распространяется при этом на расстояние ОО^/=x.

Найдем уравнение колебаний точки В относительно ее положения равновесия О^/.

- Обозначим время от начала колебаний в О₁до рассматриваемого момента черезt_1,

- тогда отклонение точки Вчерез времяt₁ после начала колебаний равно

_,

однако t= t₁, т.е.t₁=t - 

Тогда (2.1)

За время Тколебание распространилось на, а за- на расстояние, т.е.

(2.2)

Подставим (2.2) в (2.1): (2.3)

Величина называетсяволновым числом,

тогда

- это уравнение волны, определяющее смещение любой точки В волнового фронта для любого момента времени t, отсчитываемого от момента возникновения колебания в начале О, по отношению к которому дана координата х точки В.

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х , отличается только знаком:

.

Здесь фаза точки В в момент t.

В этот же момент времени фаза точки Мравнаt= 2t/T, тогда

называют разностью фаз колебаний в точках М и В.

Тогда уравнение волны (2.3) примет вид:

.

Таким образом, 2.

- путь волны в долях длины волны, запаздывание в долях периода и разность фаз в долях окружности выражаются одним и тем же числом.

Уравнение колебаний точкиВимеет вид:

(2.5)

Дважды дифференцируем уравнение волны (2.3) по х, имеем

(2.6)

_{Подставим(2.6) в (2.5):учитывая,что}

_{получаем (2.7)}

Это общее уравнение волны, распространяющейся в направлении Х.Оно связывает величины , х,t для любой точки при прохождении волны через эту точку.

Для волны, распространяющейся в произвольном направлении , уравнение волны имеет вид

где -лаплассиан .

Решение этого уравнения.

При выводе уравнения (2.3) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в тех случаях, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны по мере удаления от источника уменьшается, следовательно, уменьшается и амплитуда - волна затухает.

В однородной среде такая волна описывается уравнением

,

где -амплитуда в точках плоскостиr=0.

2. Теперь найдем уравнение сферической волны.

Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако на расстояниях r много больших размеров источника, последний можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, распространяющаяся от точечного источника, будет сферической.

• Пусть фаза колебанийисточника равна.

• Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r,будут колебаться с фазой

• Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной – она убывает с расстоянием от источника по закону

,

поэтому уравнение сферической волны имеет вид

где а -амплитуда колебаний на расстоянии 1м от источника.

Для поглощающей среды

_{Итак, скорость распространения волны есть скорость распространения колебательного процесса, не совпадающая со скоростью колебаний отдельных частиц среды, которые осуществляют этот процесс. Величина скорости зависит и от того, в каком направлении ее измерять.}

Скорость перемещения в пространстве точек волновой поверхности, колеблющихся в одной фазе, называетсяфазовой скоростью волны (в рассматриваемых ранее уравнениях– фазовая скорость)

• Фазовая скорость поперечных волн в изотропной однородной среде, 

где модуль сдвига,  - плотность среды.

• Распространение продольных волнв тонком длинном стержне связанно с его продольным растяжением и сжатием,

фазовая скорость таких волн, гдеЕ –модуль Юнга для стержня.