5.4. Момент инерции. Теорема штейнера

Согласно формуле (5.2), момент инерции тела – аддитивная величина ,

момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частиц.

Важно отметить, что момент инерции существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или нет, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси. Из выражения (5.7) следует, что один и тот же момент силы вызывает большее угловое ускорение у того тела, у которого момент инерции меньше. Таким образом, момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Эту формулу можно представить в виде , где - плотность-той частицы,- ее объем. Если тело однородно, его плотность постоянна, и суммирование по всем частицам сводится к интегралу: Интегрирование производится по всему объему тела. Величины изависят от местоположения частицы, т.е. являются функциями ее координат.

Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 5.12).

Разобьем диск на кольцевые слои толщинойи рассмотрим один такой слой. Все его точки находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, равном. Объем слоя равен, где- толщина диска. Диск однородный, его плотность одинакова во всех точках, тогда момент инерции диска равен

где - радиус диска. Очевидно, масса диска равна, тогда получаем.

Определение момента инерции тела относительно произвольной оси существенно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерцииотносительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояниямежду осями.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим ось С (рис.5.13), проходящую через центр масс тела, и параллельную ей ось О, отстоящую от точки С на расстояние . Из точки на осиО к оси С проведем вектор,перпендикулярный к обеим осям. Из конца векторапроведем вектор, перпендикулярный к осиС в точку с элементарной массой . Аналогичный векторпроведем из начала векторак той же элементарной массе. Из рисунка видно, что Квадрат расстояния от оси С до выбранной частицы равен , а от осиО Тогда момент инерции относительно осиО

В этом выражении - момент инерции тела относительно осиС, - масса тела,, где- вектор, проведенный от осиС к центру масс тела, =0, так как центр масс лежит на осиС, поэтому второе слагаемое равно нулю. Тогда получаем

что и требовалось доказать.

В случае произвольного твердого тела связь между векторами иболее сложная, чем рассмотренная выше. Однако модули этих векторов всегда остаются пропорциональны друг другу, следовательно, каждая компонента векторабудет линейно зависеть от компонент вектора:

Здесь и т.д. – коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность момента инерции. При увеличениив некоторое число раз в такое же число раз увеличится каждая из компонент,,и каждая из компонент, а значит, и сам вектор. Взаимная ориентация векторовиопределяется значениями коэффициентов пропорциональности. Все сказанное означает, что эти коэффициенты являются компонентами тензора второго ранга, который называется тензором инерции