1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током

1.5.1. Свободные колебания в контуре

_{Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивностиL и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы (рис.1.5.1). Состояние такого контура в любой момент времени может быть однозначно описано единственным параметром – зарядом q на конденсаторе. Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом в контуре возникают гармонические колебания.}

_{Падение напряжения на конденсаторе . При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции где ток , поэтому .}

_{Согласно второму правилу Кирхгофа то есть , или}

_{Это уравнение является уравнением свободных гармонических колебаний, при условии Его решение , где – заряд конденсатора в момент времени t=0.}

_{Для тока в катушке имеем:}

_{-сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.1.5.2).}

_{Для напряжения закон изменения имеет вид:}

_{При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки . При этом полная электромагнитная энергия сохраняется.}

1.5.2. Свободные затухающие колебания в контуре

_{Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают. По второму правилу Кирхгофа для цепи на рисунке 1.5.3 имеем:}

Разделим это уравнение на L и подставим ,

_{Учитывая, что , и обозначив , получаем}

_{- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.}

_{При , т.е. при , решение этого уравнения имеет вид}

_{, (1.5.1)}

_{где . Подставив и , получаем Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .}

_{Для определения напряжения на конденсаторе разделим (1.5.1) на С, имеем}

_{Чтобы найти закон изменения силы тока, продифференцируем (1.5.1) по времени:}

_{Обозначим тогда}

_{Так как то - при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на}

_{График функции представлен на рис.1.5.4.}

_{Логарифмический декремент затухания Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.}

_{Если затухание невелико , то и}

_{Добротность контура в случае слабого затухания}

_{При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период. Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону e}-βt_{. Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону e}-2βt_{. Относительное уменьшение за период равно:}

_{При незначительном затухании <<1 можно считать . Тогда добротность .}

_{При частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,}