2.9. Эффект Доплера

Рассмотрим волну, распространяющуюся в упругой среде. На некотором расстоянии от источника волны располагается устройство, воспринимающее колебания (приемник). Если источник и приемник неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых источником, будет равна частоте колебаний источника. Если же источник или приемник (либо оба) движутся относительно среды, то частота, воспринимаемая приемником, отличается от. Это явление называется эффектом Доплера.

Будем считать, что приемник и источник движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость источника будем считать положительной, если источник движется по направлению к приемнику, и отрицательной, если источник удаляется от приемника. Аналогично скорость приемникабудем считать положительной, если приемник приближается к источнику, и отрицательной, если удаляется от него.

Если источник неподвижен и колеблется с частотой , то к моменту, когда источник будет завершать-е колебание, порожденный первым колебанием гребень волны успеет пройти в среде путь(- скорость распространения волны относительно среды). Следовательно, порожденные волной за секундугребней и впадин волны уложатся по длине. Если же источник движется относительно среды со скоростью, то в момент, когда источник будет завершать-е колебание, гребень, порожденный первым колебанием, будет находиться от источника на расстоянии(рис. 2.7). Следовательно,гребней и впадин волны уложатся на длине, так что длина волны будет равна

.

Мимо неподвижного источника пройдут за секунду гребни и впадины, укладывающиеся по длине . Если приемник движется со скоростью, то в конце секундного промежутка времени он будет воспринимать впадину, которая в начале этого промежутка отстояла от его теперешнего положения на. Таким образом, приемник воспринимает за секунду колебания, отвечающие гребням и впадинам, укладывающимся на длине(рис.2.8) и будет колебаться с частотой

.

Подставив из полученного ранее выражения, получаем

.

Если расстояние между источником и приемником сокращается, воспринимаемая приемником частота оказывается больше частоты источника . Если расстояние между источником и приемником растет, воспринимаемая частота будет меньше.

Лекция 8

2.10. Электромагнитные волны

2.10.1. Волновые уравнения для электромагнитного поля. Плоские и сферические электромагнитные волны. Волновой вектор. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Основные свойства электромагнитных волн

Итак, переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т.д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс является периодическим в пространстве и во времени и представляет собой волну. Найдём уравнение этой волны.

В случае однородной нейтральной непроводящей среды с постоянными проницаемостями ε и μ имеем:

Поэтому уравнения Максвелла можно записать в виде:

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Возьмём ротор от обеих частей уравнения (2.20):

Изменим порядок дифференцирования по координатам () и времени (dt), получим:

Подставив выражение (2.22), получим Известно, чтоОднако, поэтомуТогда:или

(2.24)

Взяв ротор от обеих частей уравнения (2.22) и произведя аналогичные преобразования, получим:

(2.25)

(2.24)и (2.25)– это типичные волновые уравнения. Они описывают электромагнитную волну, фазовая скорость которой В вакуумеμ=1, ε=1, и

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями ε и μ (ρ=0, ,ε=const, μ=const). Направим ось Х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда ине будут зависеть от координатых, а будут зависеть только от координат y и z. Поэтому уравнения Максвелла (2.20) - (2.25) можно упростить и представить в виде:

Уравнения (2.29) и (2.28) показывают, что Е_x не зависит ни от х, ни от t. Уравнения (2.27) и (2.26) дают такой же результат для Н_х. Следовательно, отличные от нуля Е_х и Н_х могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси Х. Отсюда следует, что векторы иперпендикулярны к направлению распространения волны, то есть электромагнитные волны поперечны.

Два последних уравнения (2.26) и (2.28) можно объединить в две независимые группы:

Первая группа уравнений связывает компоненты E_y и H_z, вторая – компоненты E_z и H_y. Допустим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Е_у, направленное вдоль оси У. Согласно второму из уравнений (2.30) это поле создаёт магнитное поле Н_z, направленное вдоль оси Z. В соответствии с первым уравнением (2.30) поле Н_z создаёт электрическое поле Е_у, и т.д. Ни поле Е_z, ни поле Н_у при этом не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле Е_z, то согласно уравнениям (2.31) появится поле Н_у, которое возбудит поле Е_z, и т.д. В этом случае не возникают поля Е_у и Н_z. Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (2.30) или (2.31), положив компоненты, фигурирующие в другой системе, равными нулю.

Возьмём для описания волны уравнение (2.30), положив ,=0. Продифференцируем первое уравнение пох и произведём замену:

Подставим ∂H_z/∂x из второго уравнения, получим волновые уравнения для Е_у:

(2.32)

Здесь заменили

Продифференцируем по х второе уравнение из (2.30), найдём после аналогичных преобразований волновое уравнение для H_z:

(2.33)

Полученные уравнения представляют собой частные случаи уравнений (2.23) и (2.24). Так как E_x=E_z=0 и H_x=H_y=0, то E_y=E; H_z=H. Индексы у и z при E и H мы сохранили, чтобы подчеркнуть, что иперпендикулярны.

Простейшим решением уравнений (2.32) и (2.33) является:

, (2.34)

, (2.35)

где ω – частота волн, – волновое число, – начальные фазы колебаний в точке х=0.

Подставим (2.34) и (2.35) в (2.30):

.

Для удовлетворения этих уравнений необходимо, чтобы , кроме того, должны выполняться соотношения:

Перемножим два последних равенства: , или.

Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одной фазе , а амплитуды этих векторов связаны соотношением:

Для волны, распространяющейся в вакууме Ом.

В векторной форме (2.34) и (2.35) примут вид :

Векторы иобразуют с направлением распространения волны правовинтовую систему.