Дифференциальное исчисление_эл.учебник
.pdfВточке x1 0 производная меняет знак «+» на знак «–», следовательно, в
этой точке функция имеет максимум: ymax y(0) 0 .
Вточке x2 1 производная меняет знак «–» на знак «+», следовательно, в
этой точке функция имеет минимум: ymin y(1) 1.
Пример 2.
Найти точки экстремума функции у x3 3x2 2 .
Ответ: уmax y(0) 2, |
уmin y(1) 2. |
Помочь?
Подсказка 1.
В этом примере не надо находить интервалы монотонности функции, а
значит, не надо исследовать изменение знака производной на числовой прямой.
Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума.
|
|
|
|
|
Напомнить? |
Подсказка 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
имеет в точке x0 экс- |
|
Если f (x0 ) 0, |
f (x0 ) 0, то функция |
||||
тремум, причем если f |
|
0 , то это минимум, если f |
|
, то максимум. |
|
(x0 ) |
(x0 ) 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Дальше? |
Подсказка 3. |
|
|
|
|
|
||
Найдите точки, в которых |
|
, и вычислите в них |
|
||||
f (x0 ) 0 |
f (x) . Далее по |
||||||
правилу, приведенному выше. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Не понятно? |
Подсказка 4. |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
6x |
3x(x 2), |
|
|
6(x 1). |
|
y (x) 3x |
|
y (x) 6x 6 |
|
||||
|
|
|
0 и x2 2. |
|
|
|
|
y (x) 0 при x1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
81 |
|
|
|
Так как y (0) 6 0 , то при x 0 – максимум, ymax y(0) 2 . Аналогично, y (2) 6 0 , тогда при x 2 – минимум, ymin y(2) 2.
Пример 3.
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y |
x2 |
. |
||
|
||||
|
|
|
x 1 |
|
Ответ: Функция возрастает при x ( , 2) |
(0, ) , функция убывает |
|||
при x ( 2, 1) |
( 1,0) . |
|
|
|
Помочь?
Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 в примере 1.
Не понятно?
Подсказка 2. Смотрите подсказку 2 в примере 1.
Подробнее?
Подсказка 3.
Точки, в которых первая производная равна нулю либо не существует,
называются критическими точками первого рода.
|
x2 |
|
|
2x(x 1) x2 |
|
|
x2 2x |
|
x x 2 |
||
y(x) |
|
y (x) |
|
|
|
|
|
|
. |
||
x 1 |
(x 1)2 |
|
(x 1)2 |
(x 1)2 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
не существует при x3 1. |
||||||
y (x) 0 при x1 |
и x2 2 , y (x) |
||||||||||
Изобразите эти точки на числовой прямой и определите знаки производ-
ной y (x) на полученных интервалах.
Помочь?
Подсказка 4.
|
|
|
|
|
y (x) |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
x |
x 1 – не входит в область определения функции.
Знаки на интервалах расставлены в соответствие с методом интервалов.
82
Подробнее?
Подсказка 5. Смотрите подсказку 5 в примере 1.
|
|
|
|
|
|
Как? |
Подсказка 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Пусть x 1: |
4 0 |
|
) . Ана- |
|||
y (1) |
, следовательно, y (x) 0 для x (0, |
|||||
|
для x ( 2, |
1) |
|
|
||
логично, y (x) 0 |
( 1,0) и y (x) 0 для x ( , 2) . |
|||||
Делаем вывод, что данная функция возрастает при x ( , 2) |
(0, ) . |
|||||
Теперь воспользуемся первым условием экстремума и найдем экстрему-
мы функции.
Напомнить?
Подсказка 7. Смотрите подсказку 7 в примере 1.
Дальше?
Подсказка 8.
Вточке x2 2 производная меняет знак «+» на знак «–», следовательно,
вэтой точке функция имеет максимум: ymax y( 2) 4.
Вточке x1 0 производная меняет знак «–» на знак «+», следовательно, в
этой точке функция имеет минимум: ymin y(0) 0.
Вточке x3 1 не может быть экстремума, так как она не входит в об-
ласть определения функции.
Пример 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
|
y(x) x ln |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
x, |
|
|
, e . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
e |
|
|
Ответ: yнаим. 0 |
при x 1, yнаиб. |
e при x e . |
||||
Помочь?
83
Подсказка 1.
Всякая функция y f (x) , непрерывная на замкнутом интервале a,b ,
принимает на этом интервале свои наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее значение на a,b функция принимает либо в точках макси-
мума, либо на концах интервала. Наименьшее значение на a,b функция при-
нимает либо в точках минимума, либо на концах интервала.
Однако можно поступить проще:
1)найти критические точки первого рода функции, принадлежащие
(a, b) ;
2)вычислить значения функции f (x) в найденных точках и на концах интервала;
3)сравнивая полученные результаты, выбрать наибольшее и наимень-
шее значения функции.
Напомнить?
Подсказка 2.
Найдите критические точки первого рода заданной функции и вычислите
значения функции в тех из них, которые принадлежат заданному интервалу.
Дальше?
Подсказка3.
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
y(x) x ln |
|
x, |
|
y (x) ln |
|
|
x x 2ln x |
|
|
ln x (ln x 2) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 и x2 |
e |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y (x) 0 при x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Заданному интервалу принадлежит лишь x1 1, тогда: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|||||||
y(1) 1 ln |
|
1 0, |
y |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
, y(e) e ln |
|
e e. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|||||||
Очевидно, |
yнаим. |
y(1) 0 , |
yнаиб. y(e) e . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
84
Пример 5.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
резке 0, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
Ответ: yнаим. y(0) 0, |
yнаиб. |
y |
|
|
|
|
1. |
||
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 в примере 4.
Подсказка 2. Смотрите подсказку 2 в примере 4.
Подсказка 3.
|
у(x) 2x tg x , |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
cos2 x . |
|
|||||||
|
|
у (x) 2 |
y (x) 0 |
при |
||||||
x |
π |
2kπ, |
x |
3π |
2nπ, |
k,n . |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
1 |
4 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
у 2 x tg x на от-
Помочь?
Не понятно?
Подробнее? cos x 12 , т.е.
Из приведенных значений лишь x1 π4 принадлежит указанному отрезку.
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не существует при |
x |
2 πk, |
k , но эти точки не входят в область |
||||||||||||||
y (x) |
|||||||||||||||||
определения функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найдем соответствующие значения функции: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
2π |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
|
|
|
|
1, y(0) |
0, |
y |
|
|
|
3 . |
|||||
|
|
2 |
|
3 |
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
Так
|
|
π |
|
|
yнаиб. |
y |
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
π |
0.57, |
|
π |
0.36 , |
|
yнаим. y(0) 0, |
||
как |
y |
|
|
y |
|
|
то |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
||
π |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
Пример 6.
|
Найти |
|
интервалы |
выпуклости, вогнутости графика |
функции |
у(x) 6x2 9x x3 и точки перегиба. |
|
||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
График вогнутый при x ( ,2) , выпуклый при x (2, ) , x 2 – точка |
||||
перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Помочь? |
|
Подсказка 1. |
|
|
||
|
Если f |
|
x (a,b) , то график функции на a, b |
выпуклый, |
|
|
|
(x) 0 для |
|||
если |
|
|
для x (a,b) , то график функции на a, b вогнутый. |
||
f (x) 0 |
|||||
Точка кривой, разделяющая интервалы выпуклости и вогнутости, называ-
ется точкой перегиба.
Не понятно?
Подсказка 2.
Найдем критические точки второго рода функции и исследуем изменение знака производной на числовой прямой.
Подробнее?
Подсказка 3.
Точки, в которых f (x) равна нулю или не существует, называются кри-
тическими точками второго рода.
у(x) 6x |
2 |
3 |
, |
|
2 |
, |
|
6x. |
||
|
9x x |
y (x) 12x 9 |
3x |
y (x) 12 |
||||||
|
при x 2. |
|
|
|
|
|
|
|||
у (x) 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
Знаки на интервалах расставлены в соответствие с методом интервалов.
86
у (x) 0 для x ( ,2) , значит, график функции на этом интервале во-
гнутый; у (x) 0 для x (2, ) , значит, график функции на этом интервале выпуклый.
Очевидно, x 2 – точка перегиба.
Пример 7.
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции |
у(x) |
x |
||
|
|
|||
x2 4 |
||||
и точки перегиба. |
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
График вогнутый при x ( 2,0) |
(2, ) , |
|
|
|
выпуклый при x ( , 2) (0,2), |
x 0 – точка перегиба. |
|
|
|
Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 в примере 6. |
Помочь? |
|||
Подсказка 2. Смотрите подсказку 2 в примере 6. |
||||
|
|
Не понятно? |
||
|
|
Подробнее? |
||
Подсказка 3.
Найдем для заданной функции критические точки второго рода:
|
|
у( x) |
x |
|
|
|
|
(x2 |
4) x 2x |
|
x2 4 |
||||||
|
|
x2 4 |
; y ( x) |
|
|
( x2 4)2 |
( x2 4)2 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
2x( x2 |
4)2 ( x2 4) 2( x2 4) 2x |
|
2x3 24x |
|
||||||||||
|
|
|
|
( x2 4)4 |
|
|
( x2 4)3 . |
||||||||||
|
y ( x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
при x1 0 , |
|
|
|
|
|
|
x2 2, |
x3 2 . Тогда |
||||||||
у (x) 0 |
у (x) не существует при |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наки на интервалах расставлены в соответствии с методом интервалов.
|
при x ( 2,0) |
(2, ) , значит, график функции на этом интервале |
|
у (x) 0 |
|||
вогнутый. |
|
при |
x ( , 2;) (0,2) , значит, график функции на этом |
у (x) 0 |
|||
интервале выпуклый. Очевидно, x 0 – точка перегиба.
Замечание. x2,3 2 не могут быть точками перегиба, т.к. не входят в область определения функции.
Пример 8.
1
Найти асимптоты графика функции у 52 x .
Ответ:
x 2– вертикальная асимптота, y 1 – горизонтальная асимптота.
Помочь?
Подсказка 1.
По способу нахождения различают два вида асимптот: вертикальные и
наклонные. |
|
|
|
|
|
|
Прямая x a является вертикальной асимптотой |
графика |
функции |
||||
y f (x) , если хотя бы один из пределов |
lim f (x) или |
lim |
f (x) равен или |
|||
|
|
|
x a 0 |
x a 0 |
|
|
, т.е. точка x a является точкой бесконечного разрыва функции. |
|
|||||
Наклонные асимптоты ищут в виде y kx b , где параметры k |
и b вы- |
|||||
числяются по формулам: k lim |
f (x) |
, |
b lim f (x) kx . |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
x |
x |
|
|
|
|
Если k 0, то y b – горизонтальная асимптота графика функции.
Дальше?
Подсказка 2.
Исследуйте на непрерывность заданную функцию. Вычислите соответ-
ствующие пределы, найдите параметры наклонной асимптоты.
88
Не понятно?
Подсказка 3.
x 2 – точка разрыва функции, вычислим в ней односторонние пределы:
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
lim |
f (x) lim |
52 x |
52 2 0 |
|
5 |
, |
|||||
x 2 0 |
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
lim |
f (x) lim |
52 x |
52 2 0 |
|
5 |
0. |
|||||
x 2 0 |
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как один из пределов равен , то |
|
x 2 – точка бесконечного раз- |
|||||||||
рыва, следовательно, x 2 – вертикальная асимптота графика функции.
Найдите параметры наклонной асимптоты, вычислив соответствующие пределы.
Не понятно?
Подсказка 4.
Наклонные асимптоты ищут в виде y kx b , где
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k lim |
|
f ( x) |
lim |
52 x |
|
0, |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f ( x) kx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b lim |
lim 52 x |
|
5 |
|
|
50 1. |
|||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, y 1 – горизонтальная асимптота графика.
Пример 9.
Найти асимптоты функции у 2x 1 . x 3
Ответ:
x 3 – вертикальная асимптота, y 2 – горизонтальная асимптота.
Помочь?
Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 в примере 8.
89
Не понятно?
Подсказка 2. Смотрите подсказку 2 в примере 8.
Дальше?
Подсказка 3.
x 3 – точка разрыва функции. Вычислим в ней односторонние пределы:
lim f (x) lim |
2x 1 |
|
|
|
2(3 0) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 3 |
|
3 0 3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
x 3 0 |
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim f (x) lim |
2x 1 |
|
|
2(3 0) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
3 0 3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||
x 3 0 |
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 3 – точка бесконечного разрыва, следовательно, |
x 3 – вертикальная |
||||||||||||||||||||||||||||
асимптота графика функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите параметры наклонной асимптоты, вычислив соответствующие |
|||||||||||||||||||||||||||||
пределы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не понятно? |
Подсказка 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наклонные асимптоты ищут в виде y kx b , где |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
k lim |
|
f (x) |
, |
|
b lim f (x) kx т.е. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k lim |
2x 1 |
0, |
|
|
|
b lim |
2x 1 |
0 |
|
2. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x x(x |
3) |
|
|
|
|
|
x |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, y 2 – горизонтальная асимптота графика.
Пример 10.
Найти асимптоты графика функции у x2 6x 3 . x 3
Ответ:
90