Дифференциальное исчисление_эл.учебник

ex 1 x

x2

...

xn

R (x) .

2!

n!

n

Пример 2.20. Разложить по формуле Маклорена функцию y sin x .

(n)

π

Решение. Ранее была получена производная n -го порядка y

(x) sin x n

. Вычисляя последова-

2

x3

x5

x2n 1

sin x x

... ( 1)n 1

R (x) .

3!

5!

(2n 1)!

n

x2

x4

x2n 2

cos x 1

... ( 1)n 1

R (x);

2!

4!

(2n 2)!

n

ln (1 x) x

x2

x3

... ( 1)n 1

xn

R (x);

2

3

n

n

(1 x)α 1 αx

α (α 1)

x2

...

α (α 1) (α 2)...(α n 1)

xn R (x).

2!

n!

n

0

,

,

0

,

,

,

00

,

0

.

1

0

Теоремы, которые будут приведены далее для раскрытия неопределенно-

стей вида

0

и

, принадлежат Лопиталю. Правило вычисления пределов на

0

2.10.1. Раскрытие неопределенности вида

0

0

Теорема 2.8. Пусть

f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в неко-

торой окрестности точки

a , за исключением, быть может, самой точки a .

Пусть далее lim f (x) lim g(x) 0

в указанной выше окрестности.

и g (x) 0

x a

x a

Тогда, если существует

lim

f ( x)

(конечный или бесконечный), то суще-

g ( x)

x a

ствует и lim

f ( x)

, причем справедлива формула

g( x)

x a

f (x)

lim

lim

f (x)

.

x a

g(x)

x a

g (x)

Замечание. Если производные

f

и

(x)

g (x) удовлетворяют тем же тре-

бованиям, что и сами функции f (x)

и g(x) ,

то правило Лопиталя можно при-

f (x)

f

f

менить повторно, т.е. lim

lim

(x)

lim

(x)

.

x a

g(x)

x a

x a

g (x)

g (x)

Пример 2.21. Найти lim

esin 2 x cos 3x

.

x

x 0

Решение. lim

esin 2 x cos 3x

0

lim

esin 2 x 2 cos 2x 3sin 3x

2 .

x

0

1

x 0

x 0

ле [c, ). Пусть далее lim

f (x) lim g(x) 0

в указанном интерва-

и g (x) 0

x

x

Пример 2.24. Найти lim

xα

(a 1, α 0).

x ax

xα

lim

αxα 1

Решение. lim

.

x ax

x ax ln a

степень с нулевым или отрицательным показателем. Поэтому lim

xα

0.

x ax

Пример 2.25. Найти lime x ln x.

x

1

ln x

1

Решение. lime x ln x

0

lim

lim

x

lim

0 .

x

x

ex

x ex

x xex

Пример 2.26. Найти lim x sin

π

.

x

x

π

π

π

cos

π

sin

0

x

x

2

Решение. lim x sin

lim

x

lim

π.

0

1

1

x

x

x

0

x

x

x2

В примерах 48, 49 неопределенность вида

0

приведена к неопределенности вида

и

0

, соот-

0

ветственно.

1

Пример 2.27. Найти lim ctg x

.

x 0

x

Решение.

1

cos x

1

x cos x sin x

0

lim ctg x

lim

lim

x 0

x

x 0 sin x

x

x

0

x sin x

0

lim

cos x x sin x cos x

lim

sin x x cos x

0

0.

x 0

sin x x cos x

x 0 cos x cos x x sin x

2

54

f (x)

нии

предела

lim

, и

оказалось,

что

существует

lim

f (x)

, то предел

g(x)

g (x)

x x0

x x0

lim

f (x)

также

существует, и

они

равны

между

собой, т.е.

g(x)

x x0

lim

f x

lim

f (x)

.

g x

x x0

x x0

g (x)

Не получается?

Подсказка 3. В приведенном примере

f (x) 2x x2 , g(x) x 2. Найди-

те f (x) и g(x) и воспользуйтесь правилом Лопиталя.

…?

Подсказка 4.

x

f (x) 2

ln 2 2x , g (x) 1. Тогда:

56

lim

2x x2

0

lim

2x ln 2 2x

4ln 2

4

4(ln 2 1) .

x 2

0

1

x 2

x 2

Подсказка 3. В приведенном примере

f (x) e

x

,

g(x) x

4

. Найдите

f (x)

и

g (x) и воспользуйтесь правилом Лопиталя.

Дальше?

Подсказка 4.

x

,

3

. Тогда:

f (x) e

g (x) 4x