Дифференциальное исчисление_эл.учебник
.pdf
Подсказка 2. Функция задана неявно. Найдите f x0 по правилу диффе-
ренцирования неявной функции.
Не получается?
Подсказка 3. 2x 2 y y 0 y xy .
Следовательно, |
y x |
|
2 |
2 . Тогда k |
|
|
1 |
. |
|
0 |
|
1 |
норм. |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. Под каким углом пересекаются кривые
|
|
y sin x и y cos x |
0 x π ? |
|
|
|
|
Ответ: arctg 2 2 . |
|
||
|
|
|
Помочь? |
Подсказка 1. По определению под углом между кривыми y f1 x и y f2 x в точке их пересечения понимается угол между их касательными
прямыми, проведенными в точке пересечения.
Дальше?
Подсказка 2. Найдите угловые коэффициенты k1 и k2 касательных к каждой из кривой в точке пересечения. Угол φ между касательными найдите из
формулы для тангенса угла между прямыми на плоскости:
tg φ |
|
k2 k1 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
k k |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не получается? |
||
Подсказка 3. Найдем на интервале 0, π точку пересечения заданных |
|||||||||
кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 x sin x, f2 |
cos x . |
|
|
|
|
||||
В точке пересечения: sin x cos x , т.е. |
tg x 1, значит |
x |
π |
. |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 x0 f2 |
x0 |
|
2 |
|
|
π |
|
2 |
|||||
|
|
, следовательно, точка |
M 0 |
|
|
; |
|
|
|
. |
|||
2 |
4 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдите угловые коэффициенты касательных к каждой из кривых в точ-
ке M 0 .
Как?
Подсказка 4. Смотрите подсказку 1 из примера 1.
Не совпало с ответом?
Подсказка 5.
f x sin x cos x k |
|
f x |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x cos x sin x k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f |
|
f |
|
x |
|
|
2 |
. |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда tg φ |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
( |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а для соответствующего острого угла: tg φ 2
2 .
Следовательно, угол между кривыми φ arctg 2
2 .
Пример 6. Найти дифференциал функции y e3x ln x2 |
1 . |
||||||||
|
3x |
2 |
1) |
|
2x |
|
|
||
Ответ: e |
3ln(x |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Помочь? |
Подсказка 1. По определению дифференциал функции |
dy y x dx . |
||||||||
Найдите y x и составьте дифференциал функции. |
|
||||||||
Не получается?
Подсказка 2.
42
|
|
|
ПД |
|
|
|
|
|
|
|
|
ТП |
|
y ( x) (e3x ln( x2 1)) |
(e3x ) ln( x2 1) e3x (ln( x2 1)) |
|
|||||||||||
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2'),(3') |
3e3x ln( x2 1) e3x |
|
|
2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, dy e |
3x |
2 |
1) |
|
|
2x |
|
|
|||||
|
|
3ln(x |
|
|
|
|
|
dx . |
|
||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
Пример 7. Для функции y x2 x 1 найти дифференциал и прираще-
ние при x0 1 для x 0,1.
Ответ: dy 0,3, y 0,31.
Помочь?
Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 из примера 6.
Если аргумент x получает приращение x , то соответствующее прира-
щение y получает функция y y x , которое определяется следующим обра-
зом:
y y x x y x .
|
|
|
Дальше? |
Подсказка 2. |
|
|
|
Найдите значения заданной функции |
при x x0 и |
x x0 x |
и y x0 . |
Затем воспользуйтесь приведенными выше формулами. |
|
|
|
|
|
Не получается? |
|
Подсказка 3. |
|
|
|
a) y x0 y 1 1 1 1 y x0 3, |
|
|
|
y x x y 1,1 1,1 2 1,1 1 3,31. |
|
|
|
0 |
|
|
|
Следовательно, y 3,31 3 0,31. |
|
|
|
|
2 1 1 3. |
|
|
б) y x x2 x 1 2x 1 y x0 |
|
|
|
Для независимой переменной x : x dx .
43
Следовательно, dy 3 0,1 0,3 .
Пример 8. Найти y x для функции y x
1 x2 .
Ответ: |
x (2x2 3) |
. |
||||
|
|
|
|
|||
( |
1 x2 )3 |
|||||
|
|
|||||
Помочь?
Подсказка 1.
По определению производная порядка « n » от функции y y x равна
производной от производной порядка « n 1», т.е. y n x y n 1 x .
Следовательно, y x y x .
Дальше?
Подсказка 2.
Найдите y x , а затем продифференцируйте найденную функцию y x .
Не получается?
Подсказка3.
y ( x) x |
|
1 x2 x |
1 x2 x 1 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТП |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1),(1') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
1 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
x2 |
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2x2 ) |
1 x2 (1 2x2 ) ( 1 x2 ) ТП |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 2x2 |
ПД |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 x |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1),(1') |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 1 x2 (1 2x2 ) |
|
|
4x 1 x2 x(1 2x2 ) |
|
x |
2x2 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 1 x2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( 1 |
x2 )2 |
|
|
|
|
( 1 x2 )3 |
|
( 1 x2 )3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 9. Найти y x , если функция задана параметрически уравне-
ниями x t 2t t2 , y t 3t t3 .
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Помочь? |
Подсказка 1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
В случае параметрического задания функции |
|
|
|
|
. |
|||
y (x) [ y (x)] t |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дальше? |
Подсказка 2. |
|
|
|
|
|
|
||
В случае параметрического задания функции |
|
y t |
. |
|
|
|
||
x |
|
|
|
|||||
y (x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Найдите все указанные производные и составные выражения для y x .
Не получается?
Подсказка 3.
x (t) 2t t2 2 2t, y t 3t t3 3 3t2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
y x |
|
3 1 |
|
|
3 |
1 t . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 1 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y x |
3 |
1 t |
|
|
|
3 |
. Таким образом, |
y x |
3 |
|
1 |
|
3 |
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2(1 t) |
|
4 1 t |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 10. Найти d 4 y для y x sin3x cos2x .
Ответ: 81sin 3x 16cos 2x dx4 .
Дальше?
Подсказка 1.
45
По определению d n y y(n) (x)dxn . Тогда: d 4 y y(4)dx4 .
Дальше?
Подсказка 2.
Найдите y(4) x для заданной функции и составьте выражение для d 4 y .
Не получается?
Подсказка 3.
Найдем y(4) (x) по определению:
y x 3cos3x 2sin 2x, y x 9sin 3x 4cos 2x,
y x 27cos3x 8sin 2x, y(4) x 81sin 3x 16cos 2x.
Следовательно, d 4 y (81sin3x 16cos2x)dx4 .
Задания для самостоятельной работы
1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной параметрически уравнениями:
x t cos3 t, |
y t sin3 t, |
t0 |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить уравнение нормали к графику функции, заданной парамет- |
||||||||||
рически уравнениями: x t t3 t2 , |
y t t2 , |
t 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2 y x 2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3. Под каким углом кривая пересекает ось |
OX : |
y ln 1 |
|
|
|
|
|
? |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Ответ: π6 .
46
4.Найти y , если y(x) x2 1 .
x1
Ответ: |
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Найти |
|
если y(x) задана параметрически уравнениями: |
||||||||||||
y (x) , |
|||||||||||||||
x t t sint, |
y t 1 cost . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
y (x) (1 cost)2 . |
|
|||||||||||||
6. |
Найти d 2 y , если y ex x2 2x 2 . |
|
|||||||||||||
Ответ: |
xex x 2 dx2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Найти d 2 y , если y e 3x sin 2x . |
|
|||||||||||||
Ответ: e 3x 5sin 2x 12cos 2x . |
|
||||||||||||||
8. |
Найти d n y , если y e ax . |
|
|||||||||||||
Ответ: 1 n an e ax . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
Под каким углом пересекается парабола y x2 |
с прямой 3x y 2 0? |
|||||||||||||
Ответ: φ |
arctg |
1 |
, |
φ |
|
arctg |
1 |
. |
|
||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
7 |
|
|
13 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. В какой точке касательная к параболе y x2 перпендикулярна к пря-
мой 2x 6y 5 0?
Ответ: |
|
3 |
; |
9 |
. |
|
|
||||
|
|
2 |
|
4 |
|
47
2.9. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ролля. Пусть функция |
y f (x) непрерывна в замкнутом ин- |
||
тервале [a,b], дифференцируема на |
открытом интервале (a,b) , причем |
||
|
|
|
|
f (a) f (b) . Тогда найдется точка ξ (a,b) , в которой f (ξ) 0 . |
|||
Проиллюстрируем это на рис. 2.7. |
|
|
|
y |
касательная |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
|
0 |
a |
ξ |
b |
x |
Рисунок 2.7
Теорема Ролля имеет следующий геометрический смысл: если выпол-
нены условия теоремы, то на кривой y f (x) найдется точка, в которой каса-
тельная параллельна оси OX .
Пример 2.16. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y x2 2x 5 на интервале
1,3 .
Решение. Очевидно, y x2 2x 5 непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси, следова-
тельно, и на интервале 1,3 .
Вычислим значения функции на концах интервала:
y( 1) 8 , y(3) 8 , то есть y( 1) y(3) .
Производная y 2x 2 . Найдем точку, в которой производная равна нулю:
2x 2 0 x 1 .
Точка x 1 принадлежит интервалу 1,3 .
Теорема Лагранжа. Пусть функция y f (x) |
непрерывна в замкнутом |
интервале a,b , дифференцируема на открытом |
интервале a,b , тогда |
48 |
|
найдется точка ξ a,b такая, что справедлива формула
f (b) f (a) |
f |
|
|
b a |
(ξ) . |
(2.13) |
|
|
|
|
Формула (2.13) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Рисунок 2.8 помогает выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.
y
M
A 
α
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
ьна |
|
|
|
ел |
|
|
|
т |
|
|
|
са |
|
|
|
а |
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
B
y f (x)
C
0 |
a |
ξ |
b |
x |
Рисунок 2.8
Величина |
f (b) f (a) |
|
BC |
tg α есть угловой коэффициент секущей |
||
b a |
AC |
|||||
|
|
|
|
|||
AB , а |
|
|
|
|
|
|
f (ξ) – угловой коэффициент касательной в точке M с абсциссой x ξ . |
||||||
Таким образом, теорема Лагранжа утверждает следующее: на дуге AB найдется хотя бы одна точка M , в которой касательная параллельна хорде AB .
Пример 2.17. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции y x2 8x 5 в интервале
1, 4 .
Решение. Легко проверить, что условия теоремы Лагранжа выполнены. Напишем формулу Лагранжа:
y(4) |
y(1) |
2x 8 , |
11 2 |
2x 8 |
|
2x 8 3 |
|
x |
5 |
, |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
то есть получено значение x 52 (1, 4) .
Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны в замкнутом интервале a,b и дифференцируемы на открытом интервале (a,b) , причем
|
на этом интервале. Тогда найдется точка |
ξ (a,b) , в которой выпол- |
g (x) 0 |
||
|
49 |
|
няется равенство
f (b) f (a) |
|
|
|
|
|
f (ξ) |
. |
(2.14) |
|
|
|
|||
g(b) g(a) |
|
|
||
g (ξ) |
|
|||
Формулу (2.14) называют формулой Коши.
Пример 2.18. Проверить справедливость формулы Коши для функций f (x) x3 3x2 и φ(x) 2x2 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на интервале 1,3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Условия теоремы выполнены, так как |
f (x) и φ(x) – элементарные функции, определенные |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на всей числовой оси, и φ (x) 4x не обращается в нуль при x 1,3 . |
|
|
|
|||||||||||
Напишем формулу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (3) f (1) |
|
3x2 6x |
|
, |
|
54 4 |
|
3x 6 |
. |
(2.15) |
||
|
|
φ(3) φ(1) |
4x |
|
23 7 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Преобразовав (2.15), получим 6x 12 25 , x |
|
13 |
. Полученное значение x |
13 |
(1, 3) . |
|||||||||
6 |
|
6 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула Тейлора. Пусть функция y f (x) имеет в некоторой окрест- |
||||||||||||||
ности точки x a производную |
(n 1) -го порядка. Пусть, |
далее, x – любое |
||||||||||||
значения аргумента из указанной окрестности.
Тогда между точками a и x найдется точка ξ такая, что справедлива
формула
|
|
|
f |
|
|
f |
(n) |
(a) |
|
||
f (x) f (a) |
f (a) |
(x a) |
(a) |
(x a)2 |
... |
|
(x a)n R (x), |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
n! |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R (x) |
f (n 1) (ξ) |
(x a)n 1 . |
|
|
(2.16) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Rn (x) – остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа.
Есть и другие формы записи остаточного члена (Коши, Пеано).
Частный случай формулы Тейлора при a 0 принято называть формулой Маклорена:
|
f |
|
f |
|
|
f |
(n ) |
(0) |
|
|
||
f (x) f (0) |
(0) |
x |
(0) |
x2 |
... |
|
xn R (x). |
(2.17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
n! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приведем примеры разложения по формуле Маклорена некоторых эле-
50