Дифференциальное исчисление_эл.учебник

Подсказка 4.

1 t2

Пример 7. Найти y (x) , если x(t) 2cos3 t , y(t) 4sin3 t .

Ответ: 2tgt .

Помочь?

Подсказка 1.

Смотрите подсказку 1 из примера 6.

Дальше?

Подсказка 2.

Смотрите подсказку 2 из примера 6.

Надо помочь?

Подсказка 3.

По формулам (1 ' ), (4), (5) ТП имеем:

x t (2cos3 t) 2 3cos2 t ( sin t) 6sin t cos2 t , y t (4sin3 t) 4 3sin2 t cos t 12sin2 t cos t .

Подставьте найденные производные в формулу вычисления y (x) и упро-

стите полученное выражение.

Совпало с ответом?

Подсказка 4.

31

2.7.Дифференциал функции

2.7.1.Определение дифференциала функции

Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x , т.е. существует

где α – бесконечно малая величина при x 0 . Умножая равенство (2.4) на

x , получаем

Из соотношения (2.5) видно, что приращение функции представляет со-

бой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое одного порядка малости с x , а

второе более высокого порядка. Поэтому первое слагаемое называют главной

Из соотношения (2.7) следует, что f ( x) dx , то есть получено еще одно обозначение производной.

33

2.7.2. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим дифференцируемую функцию y f (x) (рис. 2.6).

Пусть точка M на кривой y f (x) соответствует значению аргумента x ,

точка N на той же кривой соответствует значению аргумента x x . MT – ка-

сательная к кривой y f (x) в точке M .

Проведем MP || OX . Приращение функции y PN . По определению dy f (x) x . Из прямоугольного MKP получаем dy tg φ x PK .

Итак, y есть приращение ординаты кривой, а dy является соответству-

ющим приращением ординаты касательной.

Рисунок 2.6

Очевидно, при достаточно малых x :

Теорема 2.7. Пусть функция y f [x(t)] дифференцируема по перемен-

ной x , а функция x(t) дифференцируема по переменной t , тогда dy f (x)dx ,

то есть dy имеет одинаковую форму, независимо от того, является x независи-

мой переменной или функцией.

Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

Непосредственно из правил дифференцирования и соотношения dy f (x)dx вытекают следующие правила для вычисления дифференциала суммы, разности, произведения, частного.

Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые функции, тогда:

1)d[u v] du dv ;

2)d[u v] vdu udv ;

(для случая 3 дополнительно предполагают v 0 ).

2.8.Производные и дифференциалы высших порядков

2.8.1.Производные высших порядков

Пусть функция y f (x) дифференцируема на (a,b) , тогда ее производ-

ная f (x) определена на (a,b) . Функция f (x) также может быть дифференци-

руема в некоторой точке x (a,b) . Указанную производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции y f (x) в точке x и

обозначают f (x) или f (2) (x) . Далее можно ввести понятие третьей произ-

водной, затем четвертой и т.д.

Таким образом, можно индуктивно ввести понятие n -й производной, пе-

реходя от первой производной к последующим по закону y(n) (x) [ y(n 1) (x)] .

35

Пример 2.12. Пусть S S(t) – закон прямолинейного движения материальной точки. Покажем, что

S (t) a(t) .

Действительно, ранее было доказано, что S (t) v(t) , а v (t) a(t) , то есть a(t) [S (t)] S (t).

Пример 2.13. y e2 x . Найти y(n) (x) .

Решение. Последовательно дифференцируя, получим

y 2e2x , y 22 e2x , y 23 e2x , ... .

Общая формула легко устанавливается: y(n) (x) 2n e2x .

2.8.2. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков определяются в полной аналогии с производными высших порядков. Дифференциал n -го порядка определяется следующим соотношением:

d n y d[d n 1 y].

При этом предполагается существование соответствующих дифференци-

алов. При вычислении дифференциалов высших порядков функции y f (x)

следует существенно различать два случая:

1)аргумент x является независимой переменной;

2)аргумент x является функцией от t , то есть x x(t) .

Из формулы (2.11) получаем еще одно обозначение производной n -го

36

порядка: y(n ) (x) d n y . dxn

Во втором случае выражение для d n y оказывается более сложным. Вы-

числим d 2 y для этого случая. По определению

d 2 y d[dy(x)] d[ y (x)dx].

Используя правило вычисления дифференциала от произведения двух

держит дополнительно слагаемое y x d 2 x .

Подчеркнем, что для дифференциалов высших порядков не имеет места инвариантность формы.

2.8.3. Производная второго порядка от функции, заданной параметрически

Выполните практическое занятие 7.

37

Практическое занятие 7

Тема: Геометрический смысл производной. Дифференциал функции. Произ-

водная и дифференциалы высших порядков

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной прямой к графику функции y ln 1 2x в начале координат.

Ответ: 2.

Помочь?

Подсказка 1. Как всякая прямая на плоскости, касательная имеет угловой коэффициент « k », равный тангенсу угла ее наклона к положительному направ-

лению оси OX . Из геометрического смысла производной следует, что угловой

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции f x 2 x x3 в точке M0 2; 4 .

Ответ: касательная: 11x y 18 0 ,

нормаль: x 11y 46 0.

Помочь?

38

Подсказка 1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точ-

ку M0 x0 ; y0 с известным угловым коэффициентом k :

Подсказка 2. Вычислив f (x0 ) , найдите угловые коэффициенты каса-

тельной и нормали. Затем подставьте их в приведенное уравнение. Таким обра-

зом,

уравнение касательной: y y0 f x0 x x0 ,

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y f x , заданной параметрически уравнениями:

x 2 t sin t , y 2 1 cost , если t0 π2 .

Ответ: 1.

Помочь?

39

Подсказка 1. Смотрите подсказку 1 из примера 1.

y f x в т. M0 x0 ; y0 вычисляется по формуле:

40