Дифференциальное исчисление_эл.учебник
.pdf
Задания для самостоятельной работы
Найти f a , если:
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
f x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, a 1. |
||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
2. |
f x |
|
|
5x |
|
, a 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
f |
|
x |
|
|
|
x2 1 |
arctg x, |
a 0 . |
|||||||||||||||||||||||
4. |
f x |
4arcctg |
|
1 |
, |
|
a 1. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f x 4 |
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
3 |
|
|
|
4x 1, |
a 1. |
||||||||||||||||||||||||||
6. |
f x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
a 0 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 sin 2x 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
f x |
16sin |
2 x |
, |
|
a |
|
|
|
π |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
f x |
|
2sin5x |
|
, |
|
a 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x5 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найти f x , если:
9.f x e x 
1 e2 x arcsin ex .
10.f x ln sin x 
1 sin2 x .
Ответ: –7.
Ответ: 0.
Ответ: 1.
Ответ: 2.
Ответ: 2.
Ответ: –6.
Ответ: 4.
Ответ: 2.
Ответ: 
1 e2 x . ex
Ответ: |
|
|
cos x |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
sin2 x |
||||
1 |
|
|
|||
21
2.4. Логарифмическое дифференцирование
Пусть функция y f (x) положительна и дифференцируема в данной
точке x . Метод логарифмического дифференцирования заключается в следую-
щем:
1) |
вначале функцию y f (x) логарифмируют: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ln y ln f (x) ; |
|
(2.2) |
||
2) |
полученное тождественное равенство (2.2) дифференцируют: |
|||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y ln f ( x) |
, |
откуда y |
y ln f (x) |
. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
Логарифмическое дифференцирование удобно применять в случае, когда функция y f (x) конструируется только с помощью операций умножения,
возведения в степень, деления, извлечения корня либо является показательно-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степенной функцией, т.е. |
y u(x) |
v( x ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2.5. y (x2 1)sin 4 x . Найти y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Логарифмируя функцию, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ln y sin 4x ln(x2 |
1) . |
|
|
|||||||
Продифференцируем полученное равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
4 cos 4x ln(x2 |
1) |
2x sin 4x |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|||
Таким образом, y (x |
2 |
|
sin 4 x |
|
|
|
2 |
|
|
2x sin 4x |
||||||
|
1) |
|
4 cos 4x ln(x |
|
|
1) |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
2.5. Дифференцирование функции, заданной неявно
Пусть функция задана неявно, то есть с помощью уравнения φ(x, y) 0 .
Покажем на примере прием дифференцирования неявно заданной функции. В
дальнейшем будет получена формула дифференцирования функции, заданной неявно.
22
Пример 2.6. xy2 ye4x 0. Найти y .
Решение. Дифференцируем равенство, считая y функцией от x :
y2 x 2yy y e4 x 4ye4 x 0 y (2xy e4x ) ( y2 4ye4x ) .
y2 4 ye4 x y 2xy e4 x .
Получили формулу неявного задания y .
2.6. Производная функции, заданной параметрически
Параметрическое задание функции одной переменной заключается в сле-
дующем: текущие координаты (x, y) точки ее графика выражены как функции от некоторой переменной t , называемой параметром, т.е.
x x(t),
y y(t).
Пример 2.7. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 2.3):
x R cos t, |
0 t 2π. |
|
|
y R sin t, |
|
y
|
t |
0 |
x |
Рисунок 2.3
Пример 2.8. Уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат (рис.2.4):
x a cos t, |
0 t 2π. |
|
|
y b sin t, |
|
23
y |
|
|
|
b |
|
a |
t |
a |
0 |
|
x |
b
Рисунок 2.4 |
|
|
|
Пример 2.9. Уравнение циклоиды (рис. 2.5): |
x R(t sin t), |
t ( , ). |
|
|
|
||
|
y R(1 |
cos t), |
|
y
2πR |
0 |
2πR |
x |
Рисунок 2.5
Теорема 2.6. Пусть x(t), y(t) дифференцируемы по переменной t , причем
|
t 0, тогда |
|
|
yt |
. |
|
|||||
x |
yx |
xt |
|||
|
|
|
|
|
Пример 2.10
Найти y .
x
Решение. y
x
y(t) 2t sin t,
.
x(t) t2 cos t.
|
yt |
|
2 cos t |
|
|
|
. |
||
x |
2t cos t t2 sin t |
|||
|
t |
|
|
|
Выполните практическое занятие 6.
24
Практическое занятие 6
Тема: Логарифмическое дифференцирование. Производные функций, за-
данных неявно и заданных параметрически
Пример 1. Найти f (a) , если |
f (x) |
(x 2)3 |
|
4x 1 |
, a 0 . |
|||
|
|
|
|
|
||||
5 cos3x |
||||||||
|
|
|
||||||
Ответ: 4 .
Помочь?
Подсказка 1.
Заданную функцию можно представить как произведение трех сомножи-
телей:
|
|
|
|
1 |
|
|
||
f (x) (x 2)3 |
4x 1 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|||||
cos3x |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
В таких случаях, когда множителей более 2-х, рациональнее использовать при дифференцировании метод логарифмического дифференцирования. Это дает возможность от дифференцирования произведения ряда множителей пе-
рейти к дифференцированию суммы их логарифмов.
Дальше?
Подсказка 2.
По свойствам логарифмов:
ln f (x) 3ln(x 2) 12 ln(4x 1) 15 ln cos3x .
Воспользуйтесь формулой (3 ' ) ТП (смотрите ПЗ 1, подсказка 3 из приме-
ра 1).
Не получается?
Подсказка 3.
1 |
f (x) |
3 |
|
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
3sin 3x . |
|
x 2 |
|
4x 1 |
|
|||||||
f (x) |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
cos3x |
|||
Следовательно,
25
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
f (x) f (x) |
|
|
|
|
|
|
tg3x . |
|
|
|
|
||||
x 2 |
|
4x 1 |
|
5 |
|
||
Найдите f (0) .
Не совпало с ответом?
Подсказка 4.
Так как f (0) 8 , то:
f(0) 8 3 2 0 4 .
2
Пример 2. Найти f (x) , если f (x) xx2 .
Ответ: xx2 1 (2ln x 1) .
Помочь?
Подсказка 1.
Заданная функция представлена в следующем общем виде: f (x) U (x) V ( x )
Такие функции называются показательно-степенными. Для их дифферен-
цирования также применяется метод логарифмического дифференцирования.
Прологарифмируйте функцию и продифференцируйте полученное равен-
ство.
Дальше?
Подсказка 2.
ln f (x) x2 ln x .
Воспользуйтесь ПД (4) и формулами (3) и (3 ' ) ТП (смотрите ПЗ 1, под-
сказки 2 и 3 из примера 1).
Не получается?
Подсказка 3.
По формуле (3 ' ) ТП:
26
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln f (x) |
|
|
|
|
f (x) , тогда по ПД (4): |
||||||
f (x) |
|||||||||||
1 |
f (x) |
(x2 ) ln x x2 |
(ln x) . |
||||||||
|
|
||||||||||
|
f (x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (3) ТП: (ln x) |
1 |
. |
Следовательно, |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
f (x) f (x) 2x ln x x |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Подставьте в это равенство f (x) и упростите полученное выражение.
Не совпало с ответом?
Подсказка 4.
f (x) xx2 (2x ln x x) xx2 1(2ln x 1) .
Пример 3. Найти f (a) , если f (x) (x3 3)cos2 x , a 0 .
Ответ: 0.
Помочь?
Подсказка 1.
Смотрите подсказку 1 из примера 2.
Дальше?
Подсказка 2.
ln f (x) cos2x ln(x3 3) .
При дифференцировании этого равенства воспользуйтесь ПД (4) и фор-
мулами (3 ' ), (2 ' ), (5 ' ) ТП.
Не получается?
Подсказка 3.
По формуле (3 ' ) ТП (ln f (x)) |
1 |
f ( x) , |
|
||
f (x) |
27
|
|
(ln(x3 3)) |
|
3x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x3 3 |
|
|
|
|
|
По ПД (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
f (x) (cos 2x) ln(x3 |
3) cos 2x (ln( x3 3)) . |
||||||||
|
|
|||||||||
|
f (x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя формулу (5 ' ) ТП, получим: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
f (x) f (x) 2sin 2x ln(x3 |
3) cos 2x |
|
|
. |
|||||
|
3 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
Вычислите f (x) при x 0 и упростите полученное выражение.
Не совпало с ответом?
Подсказка 4.
Так как f (0) 31 3, то f (0) 3 [0 0] 0 .
Пример 4. Найти y (x) , если y2 x2 x2 ey .
Ответ: 2x (1 y2 ) . 2x2 y e y
Помочь?
Подсказка 1.
Функция задана неявно, то есть с помощью уравнения φ(x, y) 0 . При нахождении y (x) обычно поступают следующим образом. Равенство, которым задается неявно функция y y(x) , дифференцируется по ПД с использованием ТП, при этом [ f ( y)] x f y y (x) по ПД (6).
Полученное равенство является линейным уравнением относительно y (x) .
Дальше?
Подсказка 2.
28
( y2 x2 ) (x2 ) (ey ) или по ПД (4):
( y2 ) x2 y2 (x2 ) (x2 ) (ey ) .
По ПД (6) и формулам (1), (1 ' ), (2 ' ) ТП:
2 yy x2 2xy2 2x ey y .
Решите это равенство относительно y .
Не получается?
Подсказка 3.
2 yy x2 ey y 2x 2xy2 ,
y (2 yx2 ey ) 2x (1 y2 ) => y |
2x (1 y2 ) |
. |
|
2x2 y e y |
|||
|
|
Пример 5. Найти y (x) , если y arctg(x y) .
1
Ответ: ( x y)2 .
Помочь?
Подсказка 1.
Смотрите подсказку 1 из примера 4.
Дальше?
Подсказка 2.
По формуле (10 ' ) ТП y (arctg(x y)) x :
(arctg(x y)) x 1 (x1 y)2 (x y) x .
Так как (x y) x 1 y , то
y |
1 |
(1 y ) . |
1 (x y)2 |
Решите это уравнение относительно y .
Не получается?
Подсказка 3.
29
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(x y) |
2 |
|
(x y) |
2 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
y |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
(x y)2 |
|||
|
, |
так как |
|
|
. |
|||||||||||
(x y)2 |
1 (x y)2 |
1 ( x y)2 |
||||||||||||||
Пример 6. Найти y (x) , если функция y(x) задана параметрически
уравнениями:
x(t) ln(1 t2 ) , y(t) arcctgt .
Ответ: 21t .
Помочь?
Подсказка 1.
Функция y(x) задана параметрическими уравнениями x x(t), y y(t) . В
этом случае y (x) ищется по формуле:
y (x) y t . x t
Дальше?
Подсказка 2.
Найдите x t и y t и подставьте в формулу вычисления y (x) .
Не получается?
Подсказка 3.
|
ln(1 t2 ) |
ПД |
2t |
|
||||
x t |
(3') |
|
|
|
, |
|||
1 t2 |
||||||||
|
|
|
||||||
y |
(arcctgt) ПД |
|
1 |
. |
|
|||
t |
t2 |
(11') 1 |
Подставьте найденные производные в формулу вычисления y (x) и упро-
стите полученное выражение.
Не совпало с ответом?
30