Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление_эл.учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2015

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>


Пример 2.3. y e3x tg2	x . Найти y .

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования произведения и сложной функции:

y e3x tg2

e3x tg2

tg x e3x

x e

2 tg x

cos2

x cos2

x 2

Пример 2.4. y ln (1 3cos x) arctg 5x .

Найти

y .

Решение. y ln (1 3cos x) arctg 5x ln (1 3cos x) (arctg 5x)

3sin x arctg 5x

5ln (1 3cos x)

1 3cos x

1 25x2

Выполните практическое занятие 5.

Практическое занятие 5

Тема: Техника дифференцирования

Пример 1. Найти f a , если	f x 2x2 1 3x 2 , a 0.
Ответ: –3.

Помочь?

Подсказка 1. Для того чтобы взять производную от некоторой функции,

следует воспользоваться правилами дифференцирования и таблицей производ-

ных основных элементарных функций.

Напомнить?

Подсказка 2.

Правила дифференцирования (ПД):

c 0 , где

c – произвольная константа.

, где

u u x .

2. [c u]

c u

3. [u v]

u v .

4. [u v]

u v .

v u v

f u

Таблица производных (ТП) основных элементарных функций:

1.xα α xα 1 , в частности, x 1.

ln a , в частности,

loga

, в частности,

ln x

x ln a

sin x cos x.

cos x sin x.

			1
6.	tg x				.
6.	tg x	cos2 x			.
				1
8.	arcsin x						.

				1 x2
				1 x2
10. arctg x				1		.

				x2
			1	x2

		1
7.	ctg x				.
7.	ctg x	sin2 x			.
				1
9.	arccos x						.


			1 x2
11. arcctg x				1		.
11. arcctg x				x2		.
		1		x2

Важное замечание!

Подсказка 3. Правило дифференцирования (ПД) (6) называется правилом

дифференцирования сложной функции f от функции u(x) . С учетом этого

правила таблицу производных можно записать в виде:

			1			где u u(x).
1'.	u	u		u	,

2'. a

ln a u ,

3'. loga u

ln u

u ln a

u ,

4'. sin u

cosu u .

6'. tg u

cos2 u

8'. arcsin u

1 u2

u .

10'. arctg u

1 u2

u .

5'. cos u

sin u u .

7'. ctg u

sin2 u

9'. arccos u

u .

1 u2

11'. arcctg u

1 u2

u .

Дальше?

Подсказка 4. По условию f x – произведение двух функций, следова-

тельно, для ее дифференцирования следует воспользоваться ПД (4): f x 2x2 1 3x 2 2x2 1 3x 2 .

Как это сделать?

Подсказка 5. Для нахождения производной каждой из скобок восполь-

зуйтесь ПД (1), (2), (3) и формулой (1) ТП.

										Не получается?
Подсказка 6.
2x2 1	ПД	2x2 (1)				ПД	x2 0		ТП
2x2 1		2x2 (1)				2	x2 0		2	2x 4x,
	(3)				(1), (2)				(1)
		ПД		2		ПД		0	ТП
3x 2			3x	2		3	x	0	3 1 3.
		(3)				(1), (2)			(1)

Подставьте найденные производные в формулу для f x и вычислите

f 0 .

Не совпало с ответом?

Подсказка 7.

f x 4x 3x 2 2x2 1 3, f 0 0 3 3.

	f a , если	f x 12					16			a 8.
Пример 2. Найти				3		2	16
			1		x				,
			1		x				,
								x

Ответ: 1.

Помочь?

Подсказка 1. Воспользуйтесь ПД (1), (2), (3) и формулой (1) ТП.

Как это сделать?


		3			16
		3		2	16
Подсказка 2. По ПД (2):	f x 12 1		x				.
Подсказка 2. По ПД (2):	f x 12 1		x				.
						x

Производную от скобки возьмите по ПД (3).

… ?

Подсказка 3.


				16
	3		2	16
1		x
1		x			x
					x

1 3 x2 16 .

Для того чтобы воспользоваться формулой (1) ТП, представьте второе и

третье слагаемое в виде рациональной степени x .

Не получается?

Подсказка 4.

							2	1
										x 1.
				3 x2 x3 ,
				3 x2 x3 ,					x
									x

			2		2		1				1
			2		2						1
					2				2				2
По (1) ТП : 3	x2	x3			2	x 3			2	x	3		2		;
					3			3			3		3

												3		x

16					16

		16 x 1	16 x 1	16 1 x 2		2 .
	x				x

Подставьте найденные производные в формулу для f x , и найдите f 8 .

… ?

Подсказка 5.

										16			1		8
				16				2
	3		2	16				2
f x 12 1		x				12	0					24					,
											2					2
					x			33		x	2			3 x	x	2
					x			33	x	x			3	3 x	x

f 8 24	1	8	4 3 1.

	3 2	64

Пример 3. Найти f x , если f x sin3 4x 5 e 0,2 x .

Ответ: 12sin2 4x cos4x e 0,2 x.

Помочь?

Подсказка 1. Воспользуйтесь ПД (3), а затем, при нахождении производ-

ной от каждого слагаемого, ПД (6).

Не получается?

Подсказка 2.

		ПД
	f x	sin3 4x	5e 0,2 x		f1 x f2 x .
		(3)
2.1. Найдем	sin3 4x :
обозначим	u x sin 4x , тогда			sin3 4x u3 и по (1) ТП:

f1 u u3 3u2 .

Тогда f1 x 3u2 u x , где u sin 4x.

По (4') ТП: sin 4x cos4x

4x 4cos4x .

Следовательно,

f x 3sin2

4x 4cos 4x 12sin2 4x cos 4x.

2.2. Найдем 5e 0,2 x :

обозначим u x 0,2x , тогда

f2 u 5eu 5eu .

f2 x 5 e

u x

0,2 x

Тогда

0,2x x 5 0, 2 e

Подставьте найденные производные в формулу для

f x .

… ?

Подсказка 3.

f x 12sin2 4x cos 4x e 0,2 x .

Пример 4. Найти f x , если			f x	5		.

				3
				3	cos6x
Ответ:	10sin 6x	.


	3 cos4 6x

Помочь?

Подсказка 1. Заданная функция представлена в виде дроби, числитель которой – константа. Поэтому нет необходимости пользоваться ПД (5). Вос-

пользуйтесь ПД (2), (6) и формулами (1 ' ), (5 ' ) ТП.

Не получается?

Подсказка 2. При дифференцировании функции, содержащей корень произвольной степени от некоторого выражения, следует представить корень в виде рациональной степени этого выражения:

															1
							3 cos6x cos6x 3 .
																					Дальше?
Подсказка 3.
			5
			5											1		ПД				1
f x									5		cos6x			3					5 cos6x 3		.
		3
		3
			cos6x													(2)
																					… ?
Подсказка 4.
		sin 6x							6x
Так как cos6x		sin 6x							6x		6sin 6x , то
								ПД			1
	cos6x 13										1	cos6x 13 1 cos6x
	cos6x 13											cos6x 13 1 cos6x
						(6)					3
				1	cos6x					4	6sin 6x							2sin 6x		.
				1						3								2sin 6x
										3

			3														3 cos4 6x
Следовательно,		f x						10sin 6x					.


								3 cos4 6x

Пример 5. Найти f x , если	f x x arccos x
Пример 5. Найти f x , если	f x x arccos x	1 x2 .
Ответ: arccos x .

Помочь?

Подсказка 1. Функция состоит из двух слагаемых, одно из которых представлено в виде произведения двух функций. Поэтому для нахождения

производной воспользуйтесь ПД (3), (4) и (6), а также формулами (1), (9) и (1 ' )

ТП.

Не получается?

Подсказка 2.

f x x arccos x 1 x2 .

2.1. x arccos x x arccos x x arccos x arccos x														x	;


														x2
													1	x2
											1	1
						1					2
						1					2
2.2.	1 x2		1 x2			2		1	1 x2			1 x2
2.2.	1 x2		1 x2					2	1 x2			1 x2
	1	1 x2		1	2x		x
	1			2			x
										.
	2
	2						1 x2

Подставьте найденные производные в формулу для f x и упростите

полученное выражение.

Не совпало с ответом?

Подсказка 3.

f x arccos x	x		x	arccos x.


	x2	1 x2
1	x2	1 x2

Пример 6. Найти				f x , если	f x arcctg	x 1	.
Пример 6. Найти				f x , если	f x arcctg		.
						x 1
Ответ:	1		.

	x2	1

Помочь?

Подсказка 1. Заданная функция – сложная. Следует воспользоваться ПД

(6), затем (5) и формулой (11 ' ) ТП.

Не получается?

Подсказка 2.

По формуле (11') ТП:

		1						1		x 1
		1				x 1		1		x 1
arcctgu				u , тогда	arcctg						.
arcctgu		u	2	u , тогда	arcctg		x 1		2		.
	1	u				x 1	x 1			x 1
							1
							1
							x 1

Найдите производную от дроби и подставьте в формулу для f x .

Дальше?

Подсказка 3.

ПД

x 1

(5)

x 1

Подставьте найденную производную в

выражение.

x 1 x 1 , т.е.

x 1 2

f x и упростите полученное

… ?

Подсказка 4.

			1		2					2			1
	x 1		1		2					2			1
arcctg															.
arcctg		x 1		2	x	1	2	x 1	2	x 1	2	x	2	1	.
	x 1	x 1			x	1		x 1		x 1		x		1
		1
		1
		x 1

Пример 7. Найти f x , если			f x	sin x			1	π		x
								ln tg			.
				2cos	2	x	2	ln tg	4	2	.
				2cos		x	2		4	2
	sin2 x
Ответ:		.
Ответ:	cos3 x	.

Помочь?

Подсказка 1. f x – разность двух функций (ПД(3)), одна из которых

представлена в виде дроби (ПД (5)), вторая – сложная функция (ПД (6)).

Дальше?

Подсказка 2.

	sin x			1	π		x	sin x			1

f x					ln tg
	2cos	2	x	2		4	2	2cos	2			2
										x

sin x

2cos

x sin x 2cos

2.1.

sin x

2cos2

2cos

π		x

ln tg			.
	4	2

									cos x				(4)ТП , 2cos														2		2		2cos x sin x ,
Так как sin x									cos x				(4)ТП , 2cos															x	2		2cos x sin x ,
т.е. 2cos2								4sin x cos x , то
т.е. 2cos2						x		4sin x cos x , то
						sin x						2cos					3	x 4sin						2		x cos x					cos		2		x 2sin				2	x
						sin x						2cos						x 4sin								x cos x					cos				x 2sin					x		.

									2										4cos			4	x											2cos			3	x
				2cos						x									4cos				x											2cos				x
	1						π			x				1							π				x				1					1									π	x
	1						π			x				1							π				x				1					1									π	x
2.2.			ln tg													ln tg																						tg
2.2.			ln tg				4						2			ln tg					4								2			π				x		tg
	2						4			2			2								4				2				2			π				x							4 2
																														tg
																														tg		4
																																4				2
		1						1								1									π										1								1
		1						1								1									π			x							1								1
																																													.
		2						π		x							π			x				4										π											.
		2						π		x					2		π			x				4				2						π							2cos x
					tg						cos																			2sin						x
					tg						cos																			2sin						x
								4		2							4			2														2

При нахождении этой производной воспользовались формулами (3 ' ), (6 ' )

ТП.

В преобразованиях применим формулу sin 2α 2sinα cosα

и формулу

приведения:

sin

cos x.

Подставьте найденные производные в формулу для

f x

и упростите

полученное выражение.

Не совпало с ответом?

Подсказка 3.

f x

cos2 x 2sin2 x

cos2

x 2sin2 x cos2

sin2 x

2cos3 x

2cos x

cos3 x

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025715.15 Кб0Дипломна робота Люда 1.docx
#
20.03.20162.53 Mб52Дипломная работа.rtf
#
01.04.202598.82 Кб0Дипломы-готов-2013.doc
#
02.02.2015428.09 Кб43Дисципліни терапевтичного профілю.rtf
#
02.02.2015222.67 Кб8Дисципліни хірургічного профілю.rtf
#
07.03.20151.88 Mб52Дифференциальное исчисление_эл.учебник.pdf
#
02.02.201587.05 Кб8дкп.docx
#
21.11.201943.79 Кб2дкр-право.docx
#
20.08.2019135.68 Кб32Для Магистров Сем 3 .doc
#
20.08.2019142.85 Кб5Для магистров сем 1 .doc
#
02.02.201513.25 Mб500Для первокурсеника.pdf